Question

Choco

数学的帰納法のｎ=K＋1の時からの解き方が分かりません。
詳しく教えて下さるとうれしいです！

TRIALA)
227 数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。
→p.102 例題13
三
2
+(2n-1)°=-n(2nー1)(2n+1)
1
1
(3) 1-3+2·4+3·5+……+n(n+2)=-n(n+1) (2n+7)
6

227 証明すべき等式を(A)とする。
(1) [1] n=1のとき
左辺=1,
右辺=D
*1.(3-1-1)=1
よって, n=1のとき, (A)が成り立つ。
[2] n=kのとき (A)が成り立つ, すなわち
1+4+7+…… +(3k-2)
= k(3k-1)
が成り立つと仮定すると, n=k+1のときの
(A)の左辺は
1+4+7+·
k(3k-1)+(3k+1)
1
=(3k-1)+2(3k+1)}
三
2
1
=38+5k+2)= +1)(3k+2)
2
n=k+1のときの(A)の右辺は
1
1h」

Answer 1

ゆうせい

n=kのときの式を書いて、それが正しいと仮定します！
（1）を例に取り上げると、n=k+1のときは
1+4+7+・・・+（3k-2）+（3k+1）までの足し算です！
ーーーーーーーーーーー
この下線部はn=kが正しいと仮定した時の右辺の式
1/2k（3k-1）に置き換えてそれで計算します！
右辺にはn=k+1を代入して、（左辺）=（右辺）
が成り立てば数学的帰納法よりこの等式は成り立つ
で完成だと思います！

Choco

ありがとうございます！！

Answer 2

ブドウくん

(A)は初項1、公差3の等比数列{3n-2}の和なので、n=k+1のとき、(A)の左辺は
1+4+7+...+3k-2+{3(k+1)+2}
となりますね。
数学的帰納法において、大事なことはn=k+1の場合を示すために【必ずn=kのときの仮定を使って示すこと】です。よく、これができていない答案を載せて「この証明方法だとできないのはなぜですか？」と質問している人もみかけます。
したがって、無理矢理n=kの時の仮定
1+4+7+...+3k-2=1/2 k (3k-1)
を使うために
n=k+1のときの左辺
1+4+7+...+3k-2+{3(k+1)+2}
を
(1+4+7+...+3k-2) +{3(k+1)+2}
と考えて、仮定を用いて
1/2 k (3k-1) +{3(k+1)+2} ...①
と変形します。
あとは、この計算結果がn=k+1のときの右辺
1/2 n (3n-1)
= 1/2 (k+1) (3(k+1)-1)
= 1/2 (k+1)(3k+2)
になればよいわけで、
①を計算すれば一致するので証明できます。

Choco

理解出来ました！ありがとうございます！！