Question

ぷりん

ここの証明がわからないです💦
教えてください！

2. f(x)
aく6,f(a)=f(6)=0, 区間 (a, b) で f"(x)<0 [上に凸
ならば
区間(a, b) でf(x)>0
2
方程式の解とグラフ
方程式 f(x)=0 の実数解 → 曲線 y=f(x) とx軸の共有点のx座標。
望式 f(x)=g(x)の実数解→ 2曲線 y=f(x), y=g(x) の共有点のx座
(3eとxに関する極限
x→8のとき, e*はx" に比べて急速に増大し,次のことが成り立つ。
任意の自然数nに対して
lim
x→0 x"
et
u
=8, lim
=0
n
x→ o et
STEP<A>
350 次のことが成り立つことを証明せよ。
(1) x>0 のとき
1
V1+x<1+x
2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

guest

f(x)=e^x/x^n
とします。
さて、この後対数を考えます。
対数は分数を引き算に分解して、指数を掛け算にすることができるため、計算しやすいことが理由です。

g(x)=log(f(x))
=x-n•log(x)
とおきます。微分すると、
g'(x)=1-n/x
となります。
つまり、x>nのときg'(x)>0より、x>nのときg(x)は単調増加となります。

長らく知りたいものから遠いものを考えましたが、ここから本題に戻ることができます。

g(x)=log(f(x))とおきましたので、
f(x)=e^g(x)
です。
x>nのときg(x)は単調増加なので、x→∞でg(x)→∞となります。
以上より、
lim(x→∞)f(x)=lim(x→∞)(e^g(x))
=e^∞
=∞
となります。

同様にすれば逆数も証明できます。

ご参考していただければと思います。

ぷりん

ご丁寧にありがとうございます😭
逆数の方も少し書いてみたのですが、
途中からわからないので教えて貰えたら嬉しいです🙇🏻

guest

まず、
f(x)=x^ne^-x
ですね。
g(x)=log(f(x))
=n•log(x)-x
g'(x)=n/x-1
x>nのときg'(x)<0より、x>nのときg(x)は単調減少。

f(x)=e^g(x)
より、
x>nのときg(x)は単調減少なので、x→∞でg(x)→-∞
したがって
lim(x→∞)f(x)=lim(x→∞)(e^g(x))
=e^-∞
=0
となります。

ちなみにどちらの証明も理論的には合ってるのですが、答案として書くときはもう少し詳しく書かないと減点される可能性もあります。
公式ではありますが、テスト対策ならば先生に自分で書いた証明に抜けがないか確認するのが良いかと思います。

ぷりん

なるほど！！
とても助かりました。ありがとうございます😭🙇🏻🙇🏻
一応、先生にも確認しておきます。

guest

いえいえ
公式として書いてあるものを証明しようというところは非常に素晴らしいことです。
これからも勉強頑張ってください。

ぷりん

ありがとうございます😭
そのお言葉で頑張れそうです💪🏻