Question

ああ

解説お願いします🙇‍♂️

81辺の長さが1の正四面体 ABCD に内接す
A
る球の中心をOとする。
(1) 四面体 OBCD の体積Vを求めよ。
(2) 球の半径rを求めよ。
D
B
|ヒント…
C

V2
V6
48
12
図
V2
正四面体 ABCD の体積は
12
L0 0 _.
3
(2) △BCDの面積は
4
m S5
.010 5

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

サスみ

辺CDの中点をE、ABCDから下ろした点をHとすると、点Hは三角形BCDの重心なので2:1に分けられます！そしたら、三角形BCDは正三角形なのでBからCDに垂線を下ろすとBE=√3/2×2/3となってBHが√3/3とわかります！そこから三角形ABHを取り出して三平方の定理よりAH^2=AB^2-BH^2これらを計算すると高さ(AH)が√6/3と出ます！そしたらABCDの体積は底面積×高さ×1/3で√2/12と出ます！ここで対称性からOBCDの体積をV'とするとV'=1/4Vよって、√2/12×1/4=√2/48となります！(2)はOBCDの体積が分かったのであとは半径を問われているのでOHを出します！すると、OBCDは先程出した通り√2/48なので底面積が正三角形で高さ=OH=xとすると√3/4かけるxかける1/3=√2/48これを解くと√6/12となります！写真の見ながらだとわかりやすいかもです...(分からないところがあったら言ってください！あと、「かける」って書いてるところはxとかけるが似てるのでひらがなにしましたw)

サスみ

最初のコメントの写真なんですが左からAHの長さABCDの体積、OBCDの体積、三角形ABHを取りだした図、んでこのコメントにある写真が三角形BCDを取りだしてBHを求めたものです！長くてすみません、時間がある時にじっくり見ていただければと、思っています...“〇|￣|＿

ああ

対称性ってなんですか？

サスみ

正四面体なのでAから底面に垂線を下ろすと底面の真ん中、つまり重心に来るということです、分かりましたかね、？

サスみ

要するに全体のABCDの体積がVで、このOBCDが1/4V逆に言えば、全体の体積V=4V"とも言えます要するに変わらないってことです

ああ

丁寧に解説ありがとうございます！
納得出来ました！