(1) 関数y=f(x) はx=αで極大値, x=B で極小値をとる。2点(α, fla)),
Session 1
320
重要 例題205 3次関数のグラフの対称性
O0000
f(x)=x°-9x°+15x+7 とする。
まと
(6, f(B))を結ぶ線分の中点 M は曲線y=f(x) 上にあることを示せ
(2) 曲線y=f(x)は, 点Mに関して対称であることを示せ。
め
3次関数
基本 201,202
(x)=
p.321 まとめ、
指針> 曲線 y=f(x) が点 A(,f(b)) に関して対称であるための
条件は,曲線上の 任意の点P(x, y) に対し
A に関して点Pと対称な点P'(X, Y) が曲線上にある
ことである。
ると,
Ps)
A
P'(X,Y)
解答
(1) f(x)=3x°ー18x+15
=3(x-1)(x-5)
f(x)=0 とすると
x
1
5
0
0
14
[2} L
f(x)/
極大
14
極小
-18
x=1, 5
こ
増減表は右のようになる。
[3] L
ゆえに,点Mの×座標は
1+5
=3, y座標は
14-18
2
=-2
2
-18
f(3)=-2 であるから,点Mは曲線ソ=f(x) 上にある。
(2) 点M に関して, 曲線y=f(x)上の点(x, y) と対称な点の
f
座標を(X, Y)とすると -3, -ー2
y+Y
x+X
=-2
したがって
x=6-X, y=-4-Y
の
この例題は,下の検討の2
点(x, y) は曲線y=f(x) 上にあるから y=x°-9x°+15x+7
のを代入して -4-Y=(6-X)°_9(6-X)+15(6-X)+7
整理すると
これは,点(X, Y)が曲線y=f(x)上にあることを示す。
ゆえに,曲線y=f(x) は, 点Mに関して対称である。
の場合にあたる。実際に
b
-9
3
3a
3-1
Y=X°-9X?+15X+7
であるから、Mのx座標は3
となり,対称点のx座限と一
致している。
検討)3次関数のグラフの対称性
一般に,3次関数f(x)=ax°+bx°+cx+dについて, 次のことが成り立つ。
[] y=/(x)のグラフは, グラフ上の点M(- パ-)に関して対称。
3a
[2] 極値をもつならば, 極大 極小となる点を結んだ線分の中点が M
参考
K
なるほど！ありがとうございます