(1)番
3⁴≡81≡1(mod10)
3⁵⁰≡(3⁴)¹²×3²≡1×3²≡9(mod10)
余り 9
(2)番
2¹⁰≡1024≡4(mod10)
2¹⁰⁰≡(2¹⁰)¹⁰≡4¹⁰≡(2¹⁰)²≡4²≡16≡6(mod10)
一の位 6
自然数a,bについて
(a+b)のn乗を展開した時、必ずしもaの倍数でない項はbのn乗だけという事を前提として進めていきます
任意の自然数について、1の位とそれ以外を切り離して考えてみます
簡単な例で3⁴=81なら80+1となります。
81³=(80+1)(80+1)(80+1)
これを展開すると
80³+3×80²+3×80+1
これを10で割ると余りは1
"~を10で割った余り"を以下、"~の余り"とします
1024⁵なら
(1020+4)(1020+4)(1020+4)(1020+4)(1020+4)
1020は当然10の倍数だから
展開すると4⁵以外は10で割り切れるので
1024⁵の余りは4⁵の余りに等しいということです。
そして4⁵の余りを求めると
4⁵=(4²)²×4
=16²×4
=(10+6)²×4
(10+6)²を展開したとき、6²以外は10で割り切れるので
4⁵の余りは6²×4の余りに等しいということです。
6²×4=36×4=(30+6)×4
(30+6)×4を展開したとき、6×4以外は10で割り切れるので
36×4の余りは6×4の余りに等しいということです。
6×4=24だから
10で割った余りは4
余りが同じという関係を利用してどんどん数字を小さくしていくことによって1024⁵を10で割った余りは4だと分かります。
まあ、こんな感じで余りに着目して考えていくときに≡の記号を使います
a≡b(mod n)は
aをnで割った余りとbをnで割った余りは等しいということを表しています。
足し算: a+c≡b+c (mod n)
定数倍: ac≡bc (mod n)
べき乗: am≡bm(mod n)
が成り立ちます。
これを利用して上の先の解答のように解いたので、是非あなたも調べてみてください。
すみません全くわかりません