Question

寧々

数学的帰納法で証明する問題ですが、赤部分が分かりません。どういう考え方なのか詳しく教えてほしいです。よろしくお願いします🙇‍♀️

an+3
(5) a = 0, an+1 =
4
(n = 1, 2, 3, ) で定義される数列 {an}について
(1) 0S an<1が成り立つことを, 数学的帰納法で示せ。
1- an が成り立つことを示せ。
2
(2) 1-an+1 <
(3) liman を求めよ。
n→0
(岡山県立大)
(1) 0San <1…① とおく。
[1] 2=1 のとき
a, =0 であるから, ① は成り立つ。
[2] n=Dk のとき
のが成り立つ,すなわち 0S a,<1 …② が成り立つと仮定す
a,+3
る。ここで,as+1 =
であるから,②より
4
a+3
4
2
0S
12+3
1
4
よって
0S ak+1 <1
ゆえに, n=k+1 のときも① は成り立つ。
[1], [2] より, すべての自然数nについて, ①は成り立つ。
(2) 与えられた漸化式より
3章|8数列の極限

数列 数学的帰納法

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

マドラー

0≦aₖ<1
が成り立つと仮定しているので、この式から
0≦aₖ²<1² ･･･①
より、
(aₖ²+3)/4
の取り得る値の範囲は、
0≦ (aₖ²+3)/4< (1²+3)/4=1
となります。よって、(aₖ²+3)/4=aₖ₊₁から
0≦aₖ₊₁<1
が示されます。

※①の式変形の過程で
0≦aₖ²<1²
3≦aₖ²+3<1²+3
3/4 ≦ (aₖ²+3)/4 <(1²+3)/4
となりますが
0<3/4
から少なくとも
0 <3/4 ≦ (aₖ²+3)/4 <(1²+3)/4
を満たすので
0 ≦ (aₖ²+3)/4 <(1²+3)/4
という書き換え(もしくは言い換え)を行なっても問題はないよね
ということを見抜けるかがポイントになります。

わかりにくかったらすいません

寧々

過程から詳しく説明していただき、ありがとうございました。補足説明が丁寧で理解出来ました！
助かりました🙇‍♀️