まず二項定理は
(a+b)^n=a^n[=C(n,0)*a^n*b^0]+C(n,1)*a^(n-1)b^1+C(n,2)*a^(n-2)b^2+…
でしたね. [nCmは見にくいのでC(n, m)と書くことにします.]
(1)ではa=1, b=1/n (2)ではa=1, b=xと見立てて不等式を証明するといいです[定理と同じ形になるようにする].
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(1)おそらくnが2以上の整数とするとき, (1+(1/n))^n>2であることを示せ.ということだと思います.
n≧2なので二項定理から(1+(1/n))^n≧1^n+C(n,1)*1^(n-1)*(1/n)+C(n,2)*1^(n-2)*(1/n)^2と書けます.
ここでC(n,2)*1^(n-2)*(1/n)^2>0[すべてが正の数の積です]なので(1+(1/n))^n>1^n+C(n,1)*1^(n-1)*(1/n)=1+n*1*(1/n)=1+1=2
となって主張が示されました.
[注]
n≧2ならば(n+(1/n))>(1+(1/n)). これから(n+(1/n))^n>(1+(1/n))^n[>1^n]がいえます.
typoでないならこの不等式と合わせて証明すればいいです.
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(2)こちらも同様にやればいいです. 条件のx>0は各項が正であることを意味することに注意しましょう.
また不等式の右辺が2次まであるのでn=(0,)1の場合は別に確認する必要があります.
[n=0のとき (1+x)^0=1+0*x+{0(0-1)/2}x^2]
n=1のとき, (1+x)^1=1+1*x+{1(1-1)/2}x^2[x^2の項の係数は0ですね]が成り立つ.
n≧2のときは二項定理から(1+x)^n≧1^n+C(n,1)*1^(n-1)*x+C(n,2)*1^(n-2)*x^2=1+nx+(n(n-1)/2)x^2.
以上から不等式は示されました.
