Question

魚見さん

添付画像の１枚目（４）の問題について、どういう発想から２枚目のように、tの範囲を設定できるのか教えてほしいです。

2. 関数f(z)=z°(z-1)を考える.実数tに対して,
tSzSt+1 におけるf(z)の最大値をm(t)とすると
き,次の問いに答えなさい。
(1) m(-2)の値を求めなさい。
1
(2) m(--)の値を求めなさい。
2
()の値を求めなさい。
2
て4) m(t)のグラフをt-m 平面に描きなさい。
(22 龍谷大·先端理工)

解)
9=f(x)
t+12
2
f(x)=z°(x-1)=r°-z?
より
t+1
3t
f'(z)=3z?-2z=z(3x-2)
t 0
だから,y=f(x)のグラフ
は右図のようになる。
(i))s-1のとき:
t+1
tSSt+1 において
リ=f(x)のグラフは図の命の部分だから,この部分で
f(x)の最大値を考えると, m(t)=f(t+1)={(t+1)?
同様に,図の●の部分で最
-1StS0のとき:
大値を考えればよく, m(t)=f(0)=0.
())0<tのとき:
最大値を考えればよく, m(t)=f(t+1)=t(t+1)?
同様に,図のつの部分でf(x)の
よって, m(-2)=(-2)·(-1)?=-2, m(--)=0,
1
3
9
4m
2
m
ニ
2
2
8
m(t)
であり,y=f(t+1)のグラ
フはy=f(t)のグラフをt軸
方向に -1だけ平行移動した
ものだから, m(t)のグラフ
は右図太線のようになる。
t
m=(t+1}.

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

まず興味があるのは最大値のみ. 定義域t≦x≦t+1はx=tから正へ幅1の窓で関数の振る舞いを観察していきます.
[おそらく魚見さんはモノの見方が分かっていないんだと思います.]
***
(i) まず窓の右端x=t+1が関数y=f(x)の極大値x=0とぶつかるまでf(x)は窓の範囲では単調増加な関数です.
したがってt+1≦0(⇔t≦-1)ではm(t)=f(t+1)=(t+1)^2((t+1)-1)=t(t+1)^2になります[グラフではスペードの部分].
(ii) しばらく窓は極大値を含んだ状態を続けます. この間はm(t)=f(0)ですね.
さらに都合のいいことに極小値から上昇[単調増加域]してふたたびf(0)と同じ値となるのがt+1=1⇔t=0のときです.
だから-1≦t≦0の間はm=f(0)としていいわけです[作題者が意図的にこの関数を選んだ理由. グラフではクラブの部分].
(iii) この領域を超えたt≧1ではx≧1での単調増加性からm(t)=f(t+1)になります[これがハートの部分].
***
[頭の働かせ方]
①まずは窓を意識する ②関数の単調性(端点)と極大値の関係を注視する ③以上から適切な場合分けを行う

魚見さん

返信遅くなってしまって申し訳ないです。

すごくわかりやすく説明してくださって、ありがとうございます！しっかり再現出来るように何度も復習したと思います！