(1) x^6=(x^4-x^2+1)(x^2+1)-1から余りは-1です.
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(2) x^2021=(x^6)^336*x^5={f(x)(x^2+1)-1}^336*x^5と書けます.
二項定理を利用して展開した時f(x)を含む項はすべてf(x)で割り切れます.
したがってx^2021をf(x)で割った余りは残りの(-1)^336*x^5をf(x)で割った余りと等しくなります
[多項式でも剰余系の考え方はこのように使えます. 露骨に使うとマズいかもしれないのでこう書きました].
x^5=xf(x)+x^3-xですから余りはx^3-xになります.
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(3) nが3で割り切れるとき, 自然数mをとってn=3mとすることができます.
したがって(x^2-1)^n-1=(x^2-1)^3m-1=(x^6-3x^4+3x^2-1)^m-1で, (x^2-1)^n-1は(x^6-3x^4+3x^2-1)-1で割り切れます.
[x^n-1がx-1で割り切れることを使っています. 1^n-1=0と因数定理から納得できるでしょう.]
(x^6-3x^4+3x^2-1)-1=(x^2-2)f(x)なので主張は示されました.
まず応用問題ですから, 基本的なことはすべて理解しているものとして回答を書きました.
また私は質問者本人に手を動かしてもらい, 最終的に独力で問題を解けるようになってもらうことを目標としています
ようするに回答をただ字面で追う人を助けるつもりはありません. 理解しながら自分なりの解答をノートに作ってください.
したがって複雑なグラフなど必要のあるもの以外は原則として載せるつもりはありません.
もちろん表記等で分からない点がある場合は質問してください.
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直接割り算をするのは現実的ではありません.
そこで(1)をヒントにするわけですが, x^6がf(x)を含む式として表されていることに注意します.
またx^2021=x^(6*336+5)=(x^6)^336*x^5とすればx^2021とx^6を繋げることができます.
これら二つの関係を繋ぐ[だから代入します]とx^2021はf(x)の式で表せ, 残りの項が余りになっているという見方が出来ます.
{f(x)(x^2+1)-1}^336は二項定理を利用すれば展開できます. 基本に立ち戻ると
(a+b)^n=a^n+C(n, 1)a^(n-1)b+…+C(n, n-1)ab^(n-1)+b^n [こういうところは自分の手を動かして納得してほしいです]
aで割り切れないのは最後の項b^nだけですね[この問題ではa=f(x)(x^2+), b=-1].
したがってx^2021をf(x)で剰余項は(-1)^336*x^5です. ところがこの剰余項は5次式で4次式であるf(x)で割り切れます.
そこで最後の行のようにもう一度割るわけです.
解答は各箇所に注意して読むだけ[これはよく出来ない人に見られる傾向です]ではなく, 全体の流れを掴むことも大事です.
このことも今後の学習のために注意しておきます.
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[発展] 数IIIを学習した後に
z^6+1=0, z^2+1≠0の複素数解zが背景にあることは(1)から読み取れます[出題者もそれをタネにしています].
したがってz^nの複素平面での周期性をうまく利用すれば解けるのではないかと考えます.
まず最初に考えるのはf(x)を4次式で割るわけですから余りは高々3次式です. そこでx^2021をf(x)で割った商をQ(x)とすると
x^2021=f(x)Q(x)+a[3]x^3+a[2]x^2+a[1]x+a[0]と書けます. あとは剰余の定理から4個の複素数解を順次代入すれば係数は決まります.
[訂正]
[この問題ではa=f(x)(x^2+1), b=-1].
したがって(x^2021をf(x)で)剰余項は ()の部分が不要なのでトル
[追加訂正]
ところがこの剰余項は5次式で, 4次式であるf(x)で割ることが出来ます.
すみません。(2)がよく分かりません。2021を6で割っているのは(1)のを使っているということですか？
もう少し分かりやすく教えていただけませんか？
それと、お手数ですが紙で書いたものを写真に撮って載せていただけると非常に助かります。