Question

なぁなぉ

解説教えてください！！！！

3.4
nを自然数とするとき,xy平面上において放物線y=212xnxと直線y=1で囲
(
ESI =) (1—*
まれた領域(境界も含む) に含まれる格子点の個数を求めよ.ただし, 格子点とは, x, y
座標がともに整数である点のことである.
2
201

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

見た目より面倒な問題です. 分母に2があるので偶数と奇数で場合分けをする必要があります.
***
放物線y=(1/2)x^2-nxとy=x/2の交点のx座標は0と2n+1でこの間で(1/2)x^2-nx<x/2[直線が上]が満たされます.
また(x/2)-{(1/2)x^2-nx}=x{(2n+1)-x}/2はxの偶奇に関わらず整数であることに注意します.
領域のうちx=2m(m=0, 1,…,n)上にある格子点の数はΣ[m=0->n][2m{(2n+1)-2m}/2]+1=Σ[m=0->n](-2m^2+(2n+1)m+1)個です.
また領域のうちx=2m+1(m=0, 1,…,n)上にある格子点の数は放物線と直線の交点のy座標が(整数)/2で表されることに注意して
Σ[m=0->n][(2m+1){(2n+1)-(2m+1)}/2]=Σ[m=0->n](-2m^2+(2n-1)m+n)個です[具体的にm=0とnのときで確認するといいでしょう].
したがって求めたい格子点の数は上の二つの格子点の数をすべて足して
Σ[m=0->n](-4m^2+4nm+n+1)=(n+1)-4Σ[m=1->n]4m^2+4nΣ[m=1->n]m+(n+1)Σ[m=1->n]1
=(n+1)-(2/3)n(n+1)(2n+1)+2n^2(n+1)+n(n+1)=(n+1)(2n^2+n+3)/3個です.
***
[検算] n=1のとき4個, n=2のとき13個. これぐらいなら実際にグラフに書いて確認することが出来ます.

LUX SIT

[訂正]
*また領域のうちx=2m+1(m=0, 1,…,n)上にある格子点の数は放物線と直線の交点のy座標が("奇数")/2で表されることに注意して
*=(n+1)-4Σ[m=1->n]m^2+4nΣ[m=1->n]m+(n+1)Σ[m=1->n]1
にしてください.