Question

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(2)でD=0のときm=1,9 に加えてなぜm=0のときも成りたつんですか？

基本例題 1152 次不等式の応用 (1)
183
11/3×1/
000
(1) 2次方程式 2x²-kx+k+1=0が実数解をもたないような、 定数kの値の範
囲を求めよ。 X
(2)
mx²+(-3)x+1=0の実数解の個数を求めよ。
xの方程式
基本 97
2次方程式 ax²+bx+c=0 の実数解の有無や個数は,
か.156で学んだように、
判別式 D=62-4ac の符号で決まる。
実数解の個数
異なる2つの実数解をもつ
⇔D>O
2個
ただ1つの実数解 (重解) をもつD=0
実数解をもたない
⇒D<0
1 18
0個
(2) x2の係数mに注意。m=0とm=0 の場合に分けて考える。
解答
(1) 2次方程式2x2-kx+k+1=0が実数解をもたないための
必要十分条件は, 判別式をDとすると
D<0
!_D=(-k)²—4•2(k+1)=k²—8k-845 k²-8k-8<0
k²-8k-8=0を解くと
k=4±2√6
よって
4-2√6 <k<4+2√6
(2) mx²+(m-3)x+1=0. ① とする。
[1] m=0のとき, ① は
-3x+1=0
1
これを解くと x=
よって, 実数解は1個。
3
[2] m=0のとき, ① は2次方程式で, 判別式をDとする
と
D=(m-3)2-4・m・1=m²-10m+9=(m-1)(m-9)
D> 0 となるのは, (m-1)(m-9)>0のときである。
これを解いて
m<1, 9<m
m=0 であるから
m<0, 0<m<1, 9<m
このとき, 実数解は2個。
D = 0 となるのは,(m-1)(m-9)=0のときである。
これを解いて
m=1,9
このとき,実数解は1個。
D<0 となるのは, (m-1)(m-9) <0のときである。
これを解いて
1<m<9
このとき,実数解は0個。
m<0,0<m<1,9<mのとき 2個
m=0,19のとき 1個
1<m<9のとき 0個
指針
以上により
3
◄k=-(-4) ± √(-4)²-1-(-8)
(x-a)(x-β)<0 (a <B)
⇔a<x<B
1問題文に 2次方程式と書
かれていないから、2次の
係数が0となるm=0 の場
合を見落とさないように。
m=0 の場合は1次方程式
となるから, 判別式は使え
ない。この点に注意が必要。
単にm<1,9<m だけで
は誤り! m=0 である
ことを忘れずに。
<<m<9の範囲にm=0
は含まれていない。
[1], [2] の結果をまとめる

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

yuki12

［1］でm=0のとき、実数解1個だからです

@

ありがとうございます！！