Question

jpgamw

(3)と(4)の解き方教えてください。
お願いします！！

Think
例題 172 グループの分け方
合
生徒9人を次の3つのグループに分ける分け方は何通りあるか
(1) 4人,3人、2人の3つのグループに分ける.
(2) 3人ずつ、3つのグループA, B, C に分ける.
(3) 3人ずつ、3つのグループに分ける.
(4) 2人、2人,5人の3つのグループに分ける .
考え方
グループが区別できるかどうかに注意する.
(1) 9人を4人,3人、2人のグループに分ける.
4人 3人 2人 区別して考える。
人数の違いで見分けがつく
(2)9人を3人ずつ, A,B,C のグループに分ける
A B
C
3人 3人 3人 ⇒ 区別して考える.
A,B,C の名称で見分けがつく
(3) 9人を3人,3人,3人のグループに分ける.
3人 3人 3人⇒区別しないで考える.
人数が同じなので見分けがつかない!!
(4) 9人を2人 2人,5人のグループに分ける.
2人 2人 5人⇒区別する部分と区別しない部分を考える.
ここは見分けがつかない
2人と5人は見分けがつく
(1) まず 9人から, 4人グループに入る4人を選ぶ.
次に、残った5人から, 3人グループに入る3人を選ぶ
最後に残った2人がそのまま2人グループに入る.
(2) まず, A に入る3人を選ぶ.
次に、 残った6人から, Bに入る3人を選ぶ。
最後に、 残った3人がそのままCに入る.
(3) 生徒9人を ① ②, 3. ④, 5, ⑥,
A B C
⑦ ⑧ ⑨ とすると, グループに区別
がないときの1通り
123
456
789
{①②3, ④5⑥,78⑨9} が (2) のよ
123
789
456
うに区別があると考えたときは右のよ
うに3!=6 (通り) となる.
456
123
456
789
①②③
つまり、求める場合の数をx通りとす
ると､
xx3!
789
023 456
789 456 023
が (2)の場合の数 (a Ca×Ca) と等しくなる。
(4) 2人のグループは区別しないが, 5人のグループは区別するので,まずは,3つの
グループを区別して考える.
789

残りの5人から3人を選ぶ選び方は, Ca通り
じゅ通り
残りの2人から2人を選ぶので、 C2通り
よって、
9-8-7-6 5-4-3
9C4 X5C3X2C₂=-
4･3･2・13･2･×1
=1260(通り)
(2) 9人からAに入る3人の選び方は,C3通り
残りの6人からBに入る3人の選び方は3通り
残りの3人が℃に入るので、通り
よって,
9.8.7 6.5.4
9C3 X 6C3X3C3=-
3-2-1 3-2-1
-X1
=1680 (通り)
immmmmmmmm
(3) 3つのグループをA,B,Cの区別がある部屋に入れ
ると考えると、入れ方は,
3!通り
したがって、求めるグループの分け方をx通りとする
と、3人ずつ、3つのグループを A,B,Cの区別がある
部屋に入れる入れ方は,
x×3!=x×3・2･1=6x(通り)
ABC, ACB,
BAC, BCA,
この入れ方は, (2) より, 1680通りであるから,
6x=1680
CAB, CBA
よって,
x=280 (通り)
の6通り
(4) 2人のグループを A, B, 5人のグループをCとする A.Bは人数が同じ
と9人からAに入る2人の選び方は
2通り
なので,区別をしな
2通り
いとき。 同じものと
残り 7人からBに入る2人の選び方は
残りの5人はCに入るが, 実際はAとBを区別しな
みなすが。 Cは人数
が違うので、つねに
9C2X7C2--
756378(通り)
2
区別しないグループ
よって,
2!
数の階乗で割る.
グループに区別があるかないかを考える
Focus
人数が異なるのでグ
ループが区別できる
積の法則
4人、3人が決まれ
ば、残り2人は決ま
るので、 「XC2」は
省略してもよい。
10区別される.

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

(2)から、3人をA,B,C3つのグループに分ける方法は1680通りまでは良いでしょうか。
では、A,B,Cの区別をなくすとどうなるでしょうか。

①②③|④⑤⑥|⑦⑧⑨
このように9人を3つに分けたとします。
また
④⑤⑥|⑦⑧⑨|①②③
このように分けた場合、分け方は一緒なのは分かりますか？

3つのグループを入れ替えた場合の数は、3!通りあります。
この3!通りは、例えば
①②④|③⑤⑦|④⑧⑨
のように分けた場合でも3!通りありますので、
全部の分け方について3!通りあることから、
1680÷3!をした数字が答えになります。

ここまでいかがでしょうか

jpgamw

ありがとうございます。
そこまで分かりました！！

きらうる

(4)
9人から2人を選ぶので、9C2通り
残りの7人から2人を選ぶので7C2通り
残った5人は1通り

これらをかけた9C2×7C2は、2人のグループにA,Bの名をつけた状態です。
ただ単に2つのグループに分けるためには、(3)でもやったように、グループの分け方を取っ払う必要がありますので、2!で割るのです。

だから、
9C2×7C2/2!　という計算式になっています。

jpgamw

ありがとうございます🙇
解けました！！
一問できるようになりすごく嬉しいです☺️
助かりました！！