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分母に積の形がある時は、
基本的に【部分分数分解】をします。
⑴ の数列の 第n項 は、
1/(n＋2)(n＋3)
と表せますよね。
これを、
A/(n＋2) － B/(n＋3) ･･･❶
に変形すれば良いです。(A, B に当てはまる数を求める)
この操作を【部分分数分解】と言います。
今回の場合は、A＝1、B＝1 なので、
(❶を通分してみれば求まる)
❶は、
1/(n＋2) － 1/(n＋3)
と変形できます。
つまり、⑴ の数列は、
1/3 － 1/4、1/4 － 1/5、1/5 － 1/6、･･･、
1/(n＋2) － 1/(n＋3)
と表せます。
これらを 第n項 まで足し合わせると、何が残るかを考えてみてください。
ちなみに、答えは、
1/3 － 1/(n＋3) ＝ n / 3(n＋3)
となります。
A/(n＋2) － B/(n＋3) ･･･❶
を通分すると、
{A(n＋3)－B(n＋2)} / (n＋2)(n＋3)
＝ {(A－B)n＋(3A－2B)} / (n＋2)(n＋3)
となります。
これが
1/(n＋2)(n＋3)
になってほしいので、
A－B ＝ 0
3A－2B ＝ 1
となり、これを解けば、
A ＝ B ＝ 1
が出ます。
恒等式（数学Ⅱ）の考え方ですね。
上の方法は ｢係数比較法｣ ですが、｢数値代入法｣ もアリです。
(｢数値代入法｣ の方が早いかも)
A/(n＋2) － B/(n＋3) ＝ 1/(n＋2)(n＋3)
において、分母を払って、
A(n＋3)－B(n＋2) ＝ 1 ･･･❷
❷に n ＝ －3 を代入して、
－B × (－1) ＝ 1
B ＝ 1
❷に n ＝ －2 を代入して、
A × 1 ＝ 1
A ＝ 1
詳しく丁寧に解き方を教えて頂き、本当にありがとうございます
無事に通分の式もでき、答えを導くことが出来ました…！！
とても助かりました、ありがとうございました！🙏🏻✨
回答ありがとうございます🙇🏻♀️🙇🏻♀️
①のA、Bを求める所で計算方法があっていないのか、なかなかA、B=1にならないです。お時間があればで構わないのですが、①の通分の途中式を教えて頂けませんか？