Question

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(1)のこのとき、からの説明がよく分かりません

70 増減
関数f(x)=
x+b
x2+2x+a
(a,bは定数, a>1) について,次の問いに
答えよ.
(1) f(x) は極大値､極小値をもつことを示せ .
(2)極大値、極小値を与えるæをそれぞれ,Z1,Z2 とするとき
(+1)f(x), (x2+1)f(x2) はα, bに無関係な一定値であることを
|精講
示せ .
(3) α=3, b=1のとき, 極大値、極小値を求めよ.
(1) f'(x)=0 をみたすæの存在を示すだけでは不十分.その次の
前後で f'(x) の符号が変化することを述べなければなりません。
(数学ⅡI・B88)
(2)(x+1)f(x) と(π2+1)f(x2)の2つについて議論する必要はありません。
「ともにf'(x)=0 の解」という意味で同じ扱いができます.
解答
(1) f'(x)=1 1(x2+2x+α)-(x+b)(2x+2)
(x²+2x+a)²
商の微分 60
=-x2-2bx+a-26 -(x²+2bx-a+2b)
(x²+2x+a)²
(x²+2x+a)²
=
f'(x)=0 より x2+2bx-a+26=0
①の判別式をDとすると,
D=b²+a−2b=(b−1)²+a−1>0 (a>1 £Y)
よって, ① は異なる2つの実数解をもつ。
このとき,f'(x) の符号は, (x+2x+α)²>0 だから
y=-(x+2bx-a+26) の符号と一致する.
右のグラフより, f'(x)=0 となるxの前後で,
f'(x) の符号はーから+, +からーの順に変化
するので, f(x) は極大値と極小値を1つずつ
もつ。
+
IC
y=-x²-2bx+a-26
(2