Question

Hi（受験生）

１番です、上の赤下線部はなぜそのように言えるのですか？
また下の赤下線部は両辺ではなくなぜ右辺のみなのですか？

基礎問
214
列
第7章 数
137 数学的帰納法 (II)
nが自然数のとき,次の各式が成立することを数学的帰納法を
用いて証明せよ.
(1) 1²+2²+...+ n² =. con(n+1)(2n+1) ①
(2) 1 + 1/2 + 1² + +12_2n
3
n+1
n
精講
手順は 136 と同じですが,n=kのときの式から,n=k+1 のとき
の式を作り上げるときに,どんな作業をすればよいのかが問題に
よって違うので,問題に応じてどんな作業をするかを考えなければなりません。
解答
(1) i) n=1のとき
左辺=1,右辺=･1・2・3=1
=
6
よって, n=1のとき, ①は成立する.
ii)n=kのとき
1²+2²+...+k²= ¹k(k+1)(2k+1) ······
が成立すると仮定する.
①' の両辺に(k+1) 2 を加えて
左辺=12+22+..+k^²+(k+1)2
右辺=
1=-—-_-k(k+1)(2k+1)+(k+1)²
=1/(1+
(k+1){(2k²+k)+6(k+1)}
=1/(k+1)(k+2)(2k+3)
これは、 ①の右辺にn=k+1 を代入したものである.
よって, ①はn=k+1 でも成立する.
i), ii)より, ① はすべての自然数nについて成立する.
左辺に,
1²+2²+...
+k²+(k+1)²
を作ることを考える

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

iam__tom__

1²+2²+･･･+n²というのは
例えばn=3のとき左辺=1²+2²+3²と言ったふうにその数字までの自然数の2乗を足すという意味です。
よってn=1のとき1になります。

左辺にn=k+1を代入した式は
8行目の左辺=1²+2²+･･･+k²+(k+1)²のところで左辺については示し終わっています。

Hi（受験生）

n=1のとき数列の第1項目までということですか？

左辺=1²+2²+･･･+k²+(k+1)²の式は、n=k+1を代入したものではなくないですか？n=k+1を代入したものなら2から始まりませんか？

iam__tom__

n=1のとき数列の第1項目までということですか？
→はい。そういうことです。

いいえ。代入という言葉が誤解を生んでしまいました。すみません。
n=k+1のとき
上の言葉を引用するのであれば数列の第(k+1)項目までということですので変わらず1²から始まります。

Hi（受験生）

なるほど、理解できました。ありがとうございます！