Question

Hi（受験生）

２番です、n=kとおいたときの記述が微妙に違いますがこれは何か意味があるのですか？（赤下線部）

また緑下線部の分数はどこから出てきたのですか？

基礎問
214
列
第7章 数
137 数学的帰納法 (II) 十
nが自然数のとき,次の各式が成立することを数学的帰納法を
用いて証明せよ.
(1) 12+22+..+n²= * n(n+1)(2n+1) .....
1 2n
n n+1
(2) 1+1/+1/+
3
+...+ 2
THR
精講
手順は136 と同じですが,n=kのときの式から,n=k+1 のとき
の式を作り上げるときに, どんな作業をすればよいのかが問題に
よって違うので,問題に応じてどんな作業をするかを考えなければなりません。
解答
(1) i)n=1 のとき
左辺=1,右辺=1・1・2・3=1
よって, n=1のとき, ① は成立する.
ii)n=kのとき
1²+2²+...+k²=¹/√k(k+1)(2k+1)....(3
が成立すると仮定する.
①' の両辺に(k+1)^ を加えて
左辺=1+22+..+k^+(k+1)^
右辺=1/23k(k+1)(2k+1)+(k+1)2
=/(k+1){(2k²+k) + 6(k+1)}
= (k+1)(k+2)(2k+3)
これは、①の右辺に n=k+1 を代入したものである.
よって, ① は n=k+1 でも成立する.
i), i)より, ① はすべての自然数nについて成立する。
左辺に,
1²+2²+...
+k²+(k+1)²
を作ることを考える

(2) i)n=1のとき
左辺=1,右辺=
i)n=kのとき, ② が成立すると仮定すると
1 1
2k
2 3
......@' dn
k+1
②' の両辺に
1+
左辺=1+
+ +...+
右辺=
ここで,
1
k+1
1 1
+
2 3
ポイント
2.1
1+1 -=1 となり, n=1のとき②は成立する。
1
k
を加えると
+:・・+
2k
1
+
k+1 k+1
すなわち,
1
1 + 1 1/² + +---+ / 2 + 1 ²
2
=
1
1
+
k k+1
2k+1
k+1
2k+1_2(k+1)= (k+1)(x+2) >
->0
k+1
k+2
1 + = = = + ---+ / 2 + 1 = ²/4 + 1/
2k+1 2(k+1)
1
->
2
k+1
k+1
k+2
2 (k+1)
k+2
38 19
215
OM BEN
左辺を証明したい式
にする
◆ここがポイント
これは、②n=k+1 を代入したものである.
よって, n=k+1 でも②は成立する.
i), ii) より すべての自然数nについて②は成立する.
198
数学的帰納法を使って証明するとき,n=kのときを
仮定したら,n=k+1 のときを計算用紙に書いてお
き2つの式の違いを見比べながらこれから行うべき
作業を決める

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

飛鳥

n=kの時正しいと仮定するとの旨を伝えられればいいと思います

Hi（受験生）

ではn=kと仮定するときの記述は特に決まりがないと言うことですね？？

飛鳥

だと思います。
ですが模範解答には
n=kの時正しいと仮定すると
というような書き方が多いのでそういうものを真似するといいと思います