Question

Hi（受験生）

３番です、赤下線部はどのような計算で導けるのですか？

基礎問
214
第7章 数
137 数学的帰納法 (II) ドール
(2)
nが自然数のとき,次の各式が成立することを数学的帰納法を
用いて証明せよ.
(1)
列
12+22+..+n²=n(n+1)(2n+1) .....①
1
n
+
1 1
2 3
+:･･+
+
M
(1) i)n=1のとき
2n
n+1
‥. ②
手順は136 と同じですが,n=kのときの式から,n=k+1 のとき
精講
の式を作り上げるときに,どんな作業をすればよいのかが問題に
よって違うので,問題に応じてどんな作業をするかを考えなければなりません。
解答
左辺=1,右辺=1/12 ･1・2･3=1
よって, n=1のとき, ① は成立する.
ii)n=kのとき
ddst
12+22+..+k²=k(k+1)(2k+1)....①′
が成立すると仮定する.
①' の両辺に(k+1)を加えて
左辺=12+22+‥+k^²+(k+1) 2
右辺=1/2/k(k+1)(2k+1)+(k+1)²
[左辺に,
1²+2²+...
+k²+(k+1)²
を作ることを考える
= (k+1){(2k²+k)+6(k+1)}
= 1/(k+1)(k+2)(2k+3)
これは、①の右辺にn=k+1 を代入したものである.
よって, ① は n=k+1 でも成立する.
i), i)より, ① はすべての自然数nについて成立する.

(2) i)n=1のとき
左辺=1,右辺= 2･1
右辺=
ii)n=kのとき, ② が成立すると仮定すると
1+1=1/2 + 1/3/2 1 2k
+ + -2.
....2'
k k+1
②′の両辺に
を加えると
k+1
左辺1+1/+1/3+1/+4
2
ここで,
2k+1
k+1
2k
1
+
k+1 k+1
すなわち,
2(k+1)
k+2
1+1 =1 となり, n=1のとき②は成立する.
1+1/+ +
2
② ポイント
=
=
k k+1 = A
2k+1
k+1
‥. 1+1/+...+ M
2
k
(k+1)(k+2)
*40* 280 215
1 2(k+1)
N
->0
1 2k+1> 2(k+1)
k+1 k+1
k+2
k+1 k+2
58 (8)
28 (8)
DA 881
◆左辺を証明したい式
にする
これは ② に n=k+1 を代入したものである。
よって,n=k+1 でも②は成立する.
i), ii) より すべての自然数nについて②は成立する.
TO
◆ここがポイント
数学的帰納法を使って証明するとき, n=kのときを
仮定したら,n=k+1 のときを計算用紙に書いてお
き,2つの式の違いを見比べながらこれから行うべき
作業を決める

(3) Pn+1=--
- 1/2 P₁ + ²/3 £ D, Pn+1 - 12/2 = - =— — (P₁ - 1/2 )
5
5
1
Pr - 1/² = ( px - ²) (-)"
2
2
5
:: pn-
1\n
pn = 12 + + + 1/ (- - -) ²
2 5
よって, pri
N
n-1
|123
-11-1/2x (1)
10

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

たかひろ

計算というか、
　{p_n}は初項(p_1-(1/2))、公比(-1/5)の等比数列
とわかるので、そう書けるよね、ということです。