Question

りり

至急です。なぜ、青線で囲った式が導かれるのでしょうか。
また、なぜ、tan X＝T、e^x＝Tとおいたのでしょうか。

21 次の不定積分を求めよ。
dx
cos4x
(1) S=
dx
ex+2
(2) S-

解説
21 C は積分定数とする。
1
1
(1)
cos³x
tan x= t < 2
4
cosx
(1+tan²x)
1
cos²x
-dx=dt
dx
1
よってS
*>=(1+tan²x) cost dx
cos²x
= S(1+t²) dt
+³
3
=
+t+C
*+

(1)
==0
n)
+√√2
解説
21 C は積分定数とする。
1
1
(1)
cos4x cos²x
tanx=t とおくと
-(1+tan²x)
1
cos²x
よって Sdx=(1+tan2x)
= S(1+1d²
+3
=1/1/2+
3
-dx=dt
+t+C
3
tan ³ x
3
||
1
cos²x
+tan x +C
(2) e²=t&*<
1
*> _dx = S, 7₂2.7/di
よってS
e* +2
t+2
t
≥_e³dx=dt_k_dx=dt
-dx
dt
=
- S2² (+-1 + 2 ) 4²
信
t t+2
= log|t|-log|t+2|+C
= log e* log(e²+ 2) + C
=1/10
·log (e*+2) +C

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

peekAboo

tanx=tをxについて微分すると、

1/con^2 x=dt/dx
が得られるので、青丸の関係式が得られます。

tanx=t, e^x=tについてですが、
このように置換すると、積分ができるからです。
それ以上の意味を追求しても、あまり意味はないかと思います。

りり

とても分かりやすいです。
tについて微分するとどのような式になるのでしょうか？

peekAboo

tで微分すると、

右辺の微分＝dt/dt=1
左辺の微分=(d/dt)tanx=((d/dx)tanx)(dx/dt)=(1/cos^2 x)(dx/dt)
より、

(1/cos^2 x)(dx/dt)=1
が得られます。

左辺の微分については、以下の合成関数の微分を用いています。
https://lifemater.com/math10/