Question

ろあ

この問題の私の回答があっているか教えて欲しいです。

私の答え
対偶「‪√‬xが有理数であるとき、実数xは正の有理数である」を証明する。
rを有理数として、‪√‬x=rとおく。
両辺を2乗して、x=r²
rは有理数なので、r²は正の有理数である。
よって、対偶は真なのでもとの命題も真である。

答えでは背理法を使って証明されていました。
その証明の仕方もわかるのですが、対偶を使う証明でも丸がもらえるでしょうか？

また、「実数xは正の無理数である」の否定は「実数xは正の有理数である」で合ってますか？

116 実数xが正の無理数であるときxは無理数であることを証明せよ。

116 √xは無理数でないと仮定すると,√xは有
理数である。
その有理数をrとすると√x=x
両辺を2乗すると
x=v2
rが有理数のときは有理数であるから、この
等式はxが無理数であることに矛盾する。
したがって, √xは無理数である
。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

iam__tom__

(以下個人的な意見ですので間違えてたらすみません。)
まず、ろあさんが最後に書いている実数xは正の無理数である」の否定は「実数xは正の有理数である」という部分が間違っているように感じます。
実数xは正の無理数というのは
「実数xはx>0かつxは無理数」ということであり
その否定は
「実数xはx≦0または有理数」が正しいと思います。

回答については5行目
「rは有理数なので、r²は正の有理数である。」がr=0が抜けてしまっています。
以上を踏まえるとまず対偶は
「√xが有理数ならば実数xはx≦0または有理数」となる。
これが真であることを証明する。
まず√xが有理数よりx≧0
〔1〕x=0のとき実数xは条件を満たす。
〔2〕x>0のとき
有理数rを用いて√x=rと表せ二乗しても同値性は崩れないからx=r²
ここで右辺は明らか有理数よりxも有理数であるため条件を満たす。

したがって対偶が真であるため元の命題も真である。

ろあ

とても丁寧にお答え頂きありがとうございます✨
言われてみれば対偶がそもそも違っていました。
背理法よりも複雑ですが対偶でもしっかり証明できることが分かりました！
本当に助かりました🙏🏻💗