Question

さこ

数Aの順列に関する問題です。
(2)(3)について:
この問題は緑部分を変形して(1)のような問題になるよう工夫しているとおもうのですが、緑部分と黄色部分が同値になる理由がよくわかりません。

どなたかわかりやすい言葉で教えてください🙇🏻‍♂️

うな座りかた
(山梨学院大)
A
二子
B
から入
に従っ
6 順列/増加していく
サイコロを4回投げたときに出る目を,順にx,y,z,w とする.
(1) x<y<z<w となる場合の数は
通り.
通り.
通り.
(2) xy≦x≦w となる場合の数は |
(3) xyz≦w となる場合の数は
(立正大)
「等号なし」 は 「異なる数を選ぶ」
問題を言いかえると, 「x, y, z, wは1以上 6以下の整数と
する.x<y<z<wを満たすx, y, z,w の組はいくつあるか｣ となる。 1~6から異なる4個を選べばよ
く,一発で数えられる.
「等号つき」 は 「等号なし｣ に帰着
(2)(3) は, のうちのどれが=になるかで場合わけして解
くこともできる(= 以外の≦は く だから(1)と同様)が,うまいおきかえをすると(1)の形になる.
この解き方を身につけよう.
解答
(1) 1~6から異なる4つの整数を選び、小さい順にx,y,z,w とすればよい. 1<2<4<5,1<3<5<6 など具
よって, 求める場合の数は
体的な数値をあてはめた不等式
を思い浮かべるとよい。
6.5
2
(2) x,y,z, wは整数だから
6C4=6C2= =15 (通り)
x≤y≤z≤w⇒ x<y+1, y<z+1, z<w+1
⇔x<y+1<z+2<w+3
x'=x,y'=y+1, z'=z+2, w' =w+3 とおくと,
1≤x'<y'<z'<w' ≤6+3=9
従って, 1~9 から異なる4つの整数を選び, 小さい順にx,y,z', w'とすれば 例えば,
よいので, 答えは
9C4=
9.8.7.6
4.3.2
·=9.2.7=126(通り)
(3) 1≦x≦y<z≦w⇔ 1≦x<y+1<z+1<w+2≦8
であるから, 1~8 から異なる4つの整数を選んで x,y+1, z +1, w+2 とすれば
よい。 答えは,
8C4=
8･7・6･5
4.3.2
一般に, a, 6が整数のとき
a≦b ⇔ a <b+1
←も成り立つことに注意しよ
う.この同値関係を活用する.
=2・7・5=70 (通り)
x'=2,y'=4,z'=5, w'=7
←x=2,y= 3, z=3, w=4
← (2) と同様

順列