数学
高校生
解決済み
この問題の別解での解き方を教えて下さい。やり方は分かりますが、数字があいません。
[X-（2+i）][X-（2-i）]の計算～a b、他の解の求め方を教えて下さい
la+b)2
テーマ 37 3 次方程式と虚数解
a3+30²6+30b²
応用
a b は実数とする。 3次方程式x3+ax²+bx+150 が 2+i を解に
もつとき,定数a,bの値を求めよ。 また、他の解を求めよ。
考え方程式P(x)=0 がαを解にもつ⇔P(α)=0
方程式に 2
を代入した式を A+Bi=0 (A,Bは実数) の形に整理して,
「A,Bが実数のとき A+Bi=0⇔A=0 かつ B=0」を利用。
解答
2+ i が解であるから
整理して
(3a+26+17) + (4a+b+11)i=0
a b は実数であるから, 34+2+17, 4a +6 +11 は実数である。
よって
3a+26+17= 0, 4a+6+11= 0
これを解くと
a=-1,b=-7 答
このとき, 方程式は
左辺を因数分解すると
したがって x= -3, 2±i
(2+i)³+a(2+i)²+b(2+i)+15=0
x-x2-7x+15 = 0
(x+3)(x2-4x+5) = 0
72=-1
←A+Bi=0 の形に整理。
-1
1
よって、 他の解は -3, 2-i
[参考] 一般に, 実数を係数とする n 次方程式の解の1つが虚数 a+bi ならば,それと
共役な複素数 α - bi も解であることが知られている。
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