Question

ゆうき

(1)の問題に (n≧1) とありますが、これは-1など入れると分母が０になってしまうからだと思いますが無いと減点でしょうか。
数2のときはいちいち書いてなかった気がします。
教えてください🙇‍♀️

例題 2.1
次の無限級数の収束・発散を調べ, 収束する場合にはその和を求めよ。
1
(n+1)(n+2)
(2) Σ(√n+1-√n)
(1) Σ
n=1
00
(3) Σ(-1)"
n=1
【解答】
(1) S-2
=
1
k=1 (k+1)(k+2)
n≧1 とおくと,
S = 2(x+1+2)-(2-3) + (1 - 4 ) + ( + 3 ) + - + ( + ₁ + ₂ )
-
n+1 n+2
Sn
n→∞
ócos
n
=1+1
=
1
=
-/12/ n+2°
limS,=1/23 となるので,収束して,
n=1
1 =
(n+1)(n+2)
2
..(*)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

dio

これは、とても重要なポイントです。
高等数学に限らず、大学に進んでも、
分母が0にならないことを示すことは、
必ず必要になります。

理由は分母が0になるときは値が定義されないからです。
少し長くなりましたが、無いと減点の対象になります。

ゆうき

なるほど、式変形のなかでnが分母にくる形になるか分からないときははじめからn≧1としておけば安全ですか？

dio

コメントありがとうございます。
確実にn＞＝1となる根拠があるならば、表記しておくと安全です。

ゆうき

何度も質問すみません。
この(1)はn≧1と表記がないけど、大丈夫なんですかね？

dio

この問題の場合、明らかに分母が0にならないので、書いてないだけだと思います。このケースでは
分母を計算すると4n^2+4n-3=4（2n+1）^2-4なので、関数のグラフから与えられた範囲内で常に正なので、大丈夫です。厳密に回答するとしたらここまで書きます。取り急ぎ失礼します。

ゆうき

すみません、そもそもシグマ記号の意味は∑(k=1からn)までだったら、k=1,2,3···と代入して総和を求めるものじゃなかったでしたっけ。
はじめの問題の(1)でn ≧1 としいるのやっぱりよく分からないです…

ゆうき

もともとn≧1なんて分かってないのですか？

dio

すみません。
私の勘違いでした。

最初の質問に対しては、分母が0にならないことと関係ありませんでした。
最初の(1)で、（n≧1）としているのは、n自体が変数で、
単にk=1からk=nまでの総和Snを求めて、さらにそのSnに対してn→∞にしたときの極限値を求めるので、k=1としたときの総和の方向性を定めているものだと思います。まず、最初の問題についてはお詫び致します。

dio

続いて、問題に対して（n>=1）の記載がない件に関しては、問題ないと思います。
理由は、分母が0でないことが明白だからと思います。

ただ、私が言うのもなんですが、通常、分母が0でないことを示す問題はこれから先たくさん出てきます。
そして、この処理に関しては問題の作者が示す場合もあれば、問題を解く私達が示す場合があります。
例えば、複雑な多項式の分数を因数分解できたとして、それに対して、分母が0になることはないので、答えは〜と書いたり分母が0にならない場合分けをして答えは〜とかします。

長々とすみませんでした。
お詫び申し上げます。

ゆうき

丁寧にありがとうございます。
理解出来ました！