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数学
log10の27(x-1)＜log10の1になる理由教えてください

9 不等式 log2 27-log) (x-1)+3logs {27(x-1)) <0 ･･水を満たすxの値の範囲を求める。
d = log102 とおくと
log2 27=
ア
イ
Glog103, log) (x-1)=
ウ
I log10 3+log₁0 (x-1)
logs {27(x-1)}=
オカ
であるから、水を解くことは不等式キ log103+10g10 (x-1) <0 を解くことと同じである。これにより,求める
H
xの値の範囲はク<x<
|コ
サシ
log₁0 (x-1)
である。

2'27<2°より,2'2"2"
底が2で1より大きいから, 4<x<5
x=2のとき
3=
x=-3
よって, 水の解のうち, 小さい方の解は
x=-3
大きい方の解の整数部分は4
9 7. 3, 1. d, . d, I. 3, t. 1, . d,
キ 3, ク 1, ケコ. 28, サシ 27
[解説] log2 27=310g3=3-- 220210g103
logi (x-1)
1
log+(x-1)=-
=I
log10 (x-1)
10g102
-108₁0(x-1)
10g103.
10g102
logio
logs {27(x-1)}=-
10g10 {27(x-1)}
10g105
10g10 {27(x-1)}
10
2
0<d<1であるから,
_log10 {27(x-1)}
1-log 10 2
log107
10g10 27+10g10 (x-1)
1-d
水の左辺に代入すると
310g103+log10 (x-1)
1-d
login 3+logi (x-1)
+
3{310g103+10g10(x-1)}
1-d
310g103+10g10 (x-1)
d
3{310g103+10g10 (x-1)}
1-d
=(2+12) (310gs3+login(x-1))
2d+1
{310g103+10g10 (x-1)} < 0
d (1-d)
ここで, 10g101 <10g102 <10g1010 より,
->0 である。
2d+1
d (1-d)
よって, 310g103+10g10 (x-1) <0 を満たす
xの値の範囲を求めればよい。
真数の条件よりx-1>0 x>1 ......①
log1027 (1) <logio1
底が10で1より大きいから, 27(x-1)<1
......
②
x<-
-27
28
よって, ①,②より、1<x<27
10 ア. α, イ. 6, ウ. 4
(1) エ.5, オ. 3, カ. 5, キ. 1, ク. 4
(2) ケ.2, コ. 2, サ. 1, シ.2
[解説]
方程式 ① の真数は正であるから
x-1>0, 4-x>0, a-x>0
よって、 1<x<4, x<a ...... ③
③が範囲をもつためには, a>1
①より, 10g」 (x-1) (4-x)=log』 (a-x)
よって, (x-1) (4-x) =a_x
x²+6x_4=α ...... ②
log2x+log2y=7
(1) ②より, ㎡²-6x+a+4=0 ......
②
②が重解をもつためには
(-6)²-4(a+4)=0
よって, a=5 (α> 1 を満たし適する)
このとき②より
x²-6x+9=0
(x-3)20
よって, x=3 (重解) (③を満たし適す
f(x)=-x+6x-4 とおくと
f(x)=-(x-3)²+5
y=f(x) (1<x<4) AY
のグラフより,
5
曲線 f(x) と直線
y=a の交点が1
個となるのは,
a=5または,
1 <a≦4のときで
ある。
(2) a=4のとき,図より, 解はx=2であり
①の右辺は, log』 (4-2)=log42=-
= 1/2/1
また、 1<a≦4のとき, 図より、解x=
のとりうる値の範囲は、 1<x≦2である。
11 ア. 7, イウ. 12, . 7, オカ 12, キ. 3, ク.
ケ.8, コサ. 16
解説 ①の両辺で2を底とする対数をとると
log.xy=log227
4F
01 2 3
1103+
300g1²
7
12
(logs.x) (logay) = 12×7=12
10g(0
10g
10g
4
これと ② より
log2y+log2x=- (log₂x) (logy)
tä
y=
t
2
0
したがって, 解と係数の関係より, logエ
log2yは2次方程式2-7t+12=0の解である