Question

ねこ

複素数の問題です！
（2）について、質問を写真で貼りました！
勝手に絶対値をつけていいんですか？
教えて下さい🙇🏻

重要 例題 17 1の5乗根の利用
複素数α (1) を1の5乗根とする。
1
1
(1) Q²+α+1+ + = 0 であることを示せ。
a Q²
(2) (1) を利用して、 t=a+αはf +t-1 = 0 を満たすことを示せ。
(3) (2) を利用して,
2
cos 1/3 πの値を求めよ。
2
(4)=cos/artising ” とするとき, (1-æ) (1-²)(1-ω°) (1−ω^)=5である
ことを示せ。
2
指針> (1) αは1の5乗根
α=11(a-1)(a^+α+α²+α+1)=0
(2) Q°=1から,|a|=1 すなわちα=1が導かれるから、かくれた条件=1
を利用
α
2
(3) α=cos/atisin=²とすると, は1の5乗根の1つ。t=α+αを考え (2)の
解答
(1) α=1から (a-1)(a+a³+²+a+1)=0
α*1 であるから a¹ + a²³+a²+a+1=0
両辺をα2 (≠0) で割ると a²+a+1+
よって
(2) α=1から |a|³=1
ゆえに
ゆえに
a=1 すなわち ad=1
f+t-1=(a+a)^+(a+α)-1(__
=a²+a+2aa-1+(a)²+a
=°+α+2-1+1+1=0
果を利用する。
(4) α=1 を利用して, a^(k=1, 2,345) が方程式2=1の異なる5個の解であ.
ことを示す。 これが示されるとき, 2-1= (z-a)(z-α2)(z-α3) (z-o^) (z-ds)が
り立つことを利用する。
L (1-a) (1-0²2) (1²) (1-α)に似た形
2
2
a=cos-a-isin π
5
ff1-1=0の解は②
1
a
2
t>0であるからt=2cos π===
5
+
|a|=1
よっa=1
a
Q² =0
a
このとき
2
よって,=a+αとすると2cos/であり, (2) から
■2+t-1=0が満たされる。
-1+√5
2
1がついてる
から成り立つ!
0000
(1)~(3) 金沢大)
<α~1=0
一般に
2
_3) α=cos-ntisin=”とすると, は α = 1,α=1を満たす。cosisin=
5
- 1± √/1²-4·1· (-1) = -1 + √5 -
2
2
ゆえに COS
・基本 15
2"-1
=(2-1)(zl+z^2+..+
[nは自然数] が成り立つ
この恒等式は、 初項1.
2, 項数nの等比数列の
を考えることで導かれる
◄(a+a)²
2
=a²+2αa+(a)²
(1) の結果を利用。
=
<a+α=2x(αの実部
とを通り
表して
√√5-1
4

どうして×5=1から1015=1になるのかがわかりません。

複素数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

カルロス

z=r(cosθ + isinθ)
としたとき

zⁿ = rⁿ {cos(nθ) + isin(nθ)}

なので

|zⁿ| = rⁿ = |z|ⁿ
です。

わからなかったら極形式と絶対値の定義を復習してください。

ねこ

なるほど！すっきりしました！
ありがとうございました🙇🏼‍♀️

Answer 2

ばばばやん

多分なんですけど、1の5乗根って負の数とか、複素数なくないですか？なので絶対値つけても集合は変わらないよねみたいな感じなのかなと思ったんですけど。
複素数ペロッとしかやってないので理解不足だったらごめんなさい