Question

大学生

こちらの問題についてです。(2)で答えは以下の通りなのですが、なぜそのようになるのか分かりません。教えていただきたいです。

13 2次関数f(x)=ax²-4ax+5a+1 がある。 ただし,αは0でない定数とする。
(1) a>0とする。 f(x) の最小値が 6² であるとき,の値を求めよ。
2x
(2) a<0 とする。 y=f(x)のグラフがx軸の 0≦x≦4の部分と共有点をもたないような
αの値の範囲を求めよ。
(3) a<4 とする。 a≦x≦4 におけるf(x)の最大値をM, 最小値をm とするとき, M-m
をaを用いて表せ。
(配点20)
"U

8
配点
(15点 (2) 6点 (3) 9点
解答
(1)
(2)
(x) = ax²-4ax+Sa+1
= a(x²-4x)+5a+1
=a^{(x-2)^−4}+5a+1
=a(x-2)^+a+1
>0であるから, y=f(x)のグラフは下に凸の放物線である。
よって、f(x)はx=2のとき最小値α+1をとる。そ巻
この値が 6² であるとき
6a²=a+1
6a²-a-1=0
道のり
(2a-1) (3a+1)=0
a>0 ±D a=1=1/12
答への
f(x)=a(x-2)2+a+1
づくりであるから、y=f(x)のグラフは直線x=2を頼とする上に凸の
放物線である。 これがx軸の0x4の部分と共有点をもたないのは、
次の(i), (i) の場合である。
において常にf(x>0 であるとき
0x00において, f(x) は x = 0 お
よび x=4で最小となり, 最小値は
_£(a)=5a+1
であるから
A f(x) を平方完成することができた。
③a>0であることから, x=2のとき最小値をとることに気づくことができた。
についての2次方程式を立てることができた。
① a>0 に注意して、答えを求めることができた。
x=cのとき、
34
5a+1
0
29-
a=
x=2
2:
y=f(x)のグラフは下に凸の放
物線であるから,点でf(x) は最
小値をとる。
y=f(x)
(53)
グラフは直線x=2 について対
称であるから f(0)=f(4)

C
5a+1>0
a>- — /
< 0 との共通範囲は
-}<e<0
であるから
0≦x240 において、f(x)はx=2で
最大となり、最大値は
f(2)=a+1
完答への
道のり
NE-2 (0-0) + 0.
において常にf(x)<0であるとき
a+1<0
9> SE
34
O
a+1
(0) 10 において常にf(x) 0
におけるf(x)
x=2
a-l
これはa <0 を満たすから、適する。
(i), (ii) より 求めるαの値の範囲は
a<-1. -<a<0_y=f(x)
の最小値が正
において常にf(x)<0
Omx≦4 におけるf(x)
の最大値が負
a<-1, -1/3<a<0
A ① 条件を満たす2つの場合に分けて考えることができた。
BE それぞれの場合において、x軸の 0≦x≦4の部分と共有点をもたないような条件を、αの不
等式で表すことができた。
CF それぞれの場合において,答えを求めることができた。