Question

endeavor

練習の（2）について、解答で、
ある実数に対して
f（X1）＝＞g（x2）が成り立つ
ことを満たすために
f（x1）の最大値＝＞g（x2）の最小値が成り立つ時という部分がどうしてもイメージが出来ません。
2つの二次関数が上凸下凸であるときであれば想像ができるのですが、下凸と下凸のグラフ故に分からなくなってます。

例えばf（x1）の最小値がg（x2）の最小値より下にあってもある実数においてf（X1）＝＞g（x2）が成り立つと思えてしまいます。
（1）については写真3枚目で理解してます。

ある実数x1, x2に対して
よって
よって
0≦x≦4において, [f(x) の最小値] <[g(x)の最大値]
が成り立つときである。
0≦x≦4 において f(x) の最小値はf(1) = 2,
g(x) の最大値はg(3) = a²+α
ゆえに
9(x2) 13
2<a²+a
a<-2, 1<a
(a+2)(a−1)>0
a²+a-91
0
34
x
練習 f(x)=x²+2x+α²+14a-3, g(x)=x2+12x がある。 次の条件が成り立つような
④ 130 定数aの値の範囲を求めよ。
(1) -2≦x≦2を満たすすべての実数 X1, x2 に対して, f(x) ≧ g(x2) が成り立つ。
(2) -2≦x≦2を満たすある実数x, x2 に対して, f(x)≧g(x2) が成り立つ。

www.
をもたない。
の値の範囲を求
2次関数y=x2+α
数とする x につ
+ax+a+3=0…..(
③ がいずれも今
0③ の中で1つだ
絶対値記号内の式が
>0<0 の場合に
①.②ともに左
「αの値の範囲を示
ずの係数は1であるか
ゆえに
k²-4k+2>0
よって、求めるの値の範囲は
k<2-√2, 2+ √2 <k
練習 f(x)=x+2x+α+14c-3.p(x)=x+12xがある。 次の条件が成り立つような定数aの値の
③ 130 範囲を求めよ。
(1) -2x2を満たすすべての実数名に対して、f(x)≧ g(x)が成り立つ。
(2)-2≦x2を満たすある実数名
f(x)=(x+1)+α²+14a-4,g(x)=(x+6)-36
(1) -2≦x≦2を満たすすべての実数 X1, X2 に対して
f(x)≧ g(x2) が成り立つのは, -2≦x≦2において²+4a+5
[ f(x) の最小値] ≧ [g(x)の最大値] が成り立つときである。
-2≦x≦2において, f(x) の最小値はf(-1)=a+14a-4,
g(x) の最大値はg(2)=28
ゆえに
α2 +14a-4≧28
a²+14a-32≧0
よって
よって
(a+16)(a−2)≧0
ゆえに
a≦-16,2≦a
(2) -2≦x≦2を満たすある実数 X1, x2 に対して f(x1)≧ g(x2)
が成り立つのは, -2≦x≦2において
[f(x) の最大値]≧[g(x) の最小値] が成り立つときである。
-2≦x≦2において, f(x) の最大値は f(2)=a²+14a+5,
g(x) の最小値はg(-2)=-20
ゆえに
よって
α2 +14a+25=0 を解くと
a²+14a+5≥-20
≧ g(x2) が成り立つ。
に対して、f(x)
a=-7±√72-1・25=-7±2√6
よって, 求めるαの値の範囲は
←k²-4k+2=0の解は
(1) で求めた。
a≦-7-2√6, -7+2√6≦a
a²+14a+25≧0
←基本形に直しておく。
最大
y=f(x)
a²+14a-3
1-a²+14a-4
1
-2-10 2
S
28
VA
-6-2
最小
O
最大
y=g(x)
2
-20
-36
よこ
これ
点P:
よっ
以上か
EX
③52
(1) 関数
と,y
x=
x=
をとる
よって
これを
(2) a=0
が1<y
よって
また、x
から,x
よって,

606
xon
2
628
VIW
oz
fool

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

数学にわか

初めまして。
簡単な解説を添付いたしましたのでご確認ください。
分からない部分、読めない部分等ありましたら遠慮なく仰ってください。

今回の問題で重要なのは、「すべての〜」と「ある〜」の違いです。すべての〜はどのような場合においても成り立つ、ある〜は最低１つの場合で成り立つという意味があります。

すべての〜の場合は、最悪の場合(成り立ちにくい場合)を想定しなければなりません。今回の問題での最悪の場合f(x)≧g(x)が成り立ちにくい場合)は、f(x)が1番小さくてかつ、g(x)が1番大きい場合です。逆にいうとその条件でf(x)≧g(x)が成り立っているのであれば、他のどのような場合でも成り立つことがわかります。

ある〜の場合は、最高の場合(成り立ちやすい場合)を想定しなければなりません。今回の問題で最高の場合(f(x)≧g(x)が1番成り立ちやすい場合)は、f(x)が1番大きくてかつ、g(x)が1番小さい場合です。(最低)１つの場合で成り立っていればいいので、その条件でf(x)≧g(x)が成り立っているのであれば問題ないことがわかります。

endeavor

返信遅れてすいません！！
まじで分かりやすすぎます！
つまり、あるの場合において、
f（X1）＝＞g（x2）を示す時
f（X1）の最大がg（x2）の最小を越している時点で、何か一つのXにおいてその条件を満たしている事になるんですね！
今後にも生かせる考え方を教えていただきほんっっとうに助かりました🙏
ありがとうございます！！！！！

数学にわか

その解釈で問題ありません！

お力になれて良かったです✨