Question

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四面体OABCは∠BOC＝∠COA＝∠AOB＝90°、OA＝2、OB＝√2、OC＝2√2である。この四面体の体積、および点Oと平面ABCとの距離を求めよ。
まず四面体の体積を求める際の高さの出し方がまず分かりません；どなたか全て丁寧に教えていただけませんか

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

∠BOC＝∠COA＝∠AOB＝90°なので、
△ABC以外の△OBC、△OAC、△OABの面のどこを底面にしても、高さとなる辺はどこかの辺になります。どういうことかというと、
△OBCを底面にした時、OAが高さ
△OACを底面にした時、OBが高さ
△OABを底面にした時、OCが高さ
になります。
体積はこれらを元に求めます(どこが底面でも体積は一緒です)
。△OBCを底面、OAを高さとすると
体積＝1/3×2×(2√2×√2×1/2)
　　＝4/3

Oと平面ABCの距離は、平面ABCを底面にした時の高さになる。
AC²＝2²+(2√2)²　→　AC＝2√3
AB²＝2²+(√2)²　→　AB＝√6
BC²＝(√2)²+(2√2)²　→　BC＝√10
余弦定理を用いて、
cos∠BAC＝(AB²+AC²-BC²)/2×AB×AC
　　　＝8/12√2
　　　＝√2/3
これより、sin∠BAC＝1/2　と分かるから、
△ABC＝1/2×AB×AC×sin∠BAC　　
　　＝1/2×√6×2√3×1/2
　　＝3√2/2

Oと平面ABCの距離をXとすると、
1/3×3√2/2×X＝4/3
→　X＝4√2/3

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sin∠BACは√7/3ではないのでしょうか？