Question

ひ

教えてください！

312αを実数とする。 円x2+y²-4x-8y+15=0 と直線y=ax+1 が異なる
2点A,Bで交わっている。
(1) αの値の範囲を求めよ。 S-
(2) 弦ABの長さが最大になるときのαの値を求めよ。
(3) 弦ABの長さが2になるときのαの値を求めよ。
[15 大分大〕
→Get Ready 307

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

35P🌸

(1)円の方程式に直線の方程式を代入すると、
x^2+(ax+1)^2-4x-8(ax+1)+15=(a^2+1)x^2-2(3a+2)x+8=0
ここで、判別式をDとすると、2つの共有点を持つことから、D>0である。
D/4=(3a+2)^2-8(a^2+1)=a^2+12a-4>0
よって、a<-6-2√10,-6+2√10<a

(2)弦ABの長さが最大となるのは、弦ABが円の直径となるときであるから、直線y=ax+1が円の中心を通ればよい。円の中心は、(2,4)であるから、
4=a×2+1
a=3/2

(3)弦ABの長さが2になるときの円の中心と直線の距離は、三平方の定理より、
√{(√5)^2-1^2}=2
したがって、点と直線の距離公式から、
|2a-4+1|/√(a^2+1)=2
|2a-3|=2√(a^2+1)
両辺2乗して、aについて解くと、
a=5/12

不明点があれば、気軽に質問してください。

ひ

ありがとうございました！！
解き方がわかりました