Question

あんこ

数Bの数列です。
226の特に(2)を教えて頂きたいです！

226 次の和Sを求めよ。
*(1) S=1·1+3·2+5•2²+... +(2n-1).2n-1
*(2) S=1+4x+7x²+10x³ + +(3n-2)xn-1
(3) S=2n-¹+2.2n-2+3.2-3+...+(n-1)·2+n
教p.94 応用例

(2) 2 (√k+2-√k)
=(√3-√I)+(√4-√2)+(√5-√3)
+ ...... + (√49-√47 ) +(√50-48 )
=√50 +√49-√2-√
=5√2+7-√2-1=6+4√2
226 (1) S=1・1+3・2+5・2+......
2S=1・2+3・22+5・23+
辺々を引くと
-S=1+2(2+2²+2³-
よって
S=-1-2..
APH
= (2n-3).2" +3
(2) x=1のとき
_2(2-1-1)
2-1
k=1
=n(n-1)
x=1のとき
S = 1 +4 +7 + 10 + ......
+ (3n-2)
=(3k-2)=3¹_n(n+1) − 2n
xS=[x+4x2+.
よって
S=
辺々を引くと
(1-x)S=1+3(x+x2+.
+(2n-1)2 -1
....... +(2n-32-1
+(2n-1)2"
S=1+4x+7x+..+(3n-2)x"-1
=1+3..
+2"-1)
-(2n-1).2"
+(2n-1)-2"
45 1=₁ #1
2(2"-1)
2-1
(1) SES
-n
+(3n-5)x"-1
+x²-¹)
x(1-x²-¹)
1-x
1+2x- (3n+1)x" +(3n-2)x"+1
1-x
+(3n-2)xn
_3 ) 2S=2"+2.2"-1 +3.2"-2 +..
-(3n-2)x"
1+2x- (3n+1)x"+(3n-2)x"+1
(1-x)2
-(3n-2) xn
.+(n-1) 22
+n.2
S= 2"-1 +2.2"-2 + + (n-2) ･22
+(n-1)·2+n
辺々を引くと
S=2"+2"-1+2"-2 + .... +22+2-n
S=2"l_n-2
227 (1) ≧2のとき、 第1群から第 (n-1) 群ま
でに入る数の個数は
1+2+4+ ··· +2"-2 =
よって
2"-1-1
2-1
=2-1-1
これが第(n-1) 群の最後の数である。
求める数はこの次の数で
2"-1-1+1=2"-1
この式はn=1のときにも成り立つ。
よって、 第群の最初の数は
2"-1
(2) 和Sは初項2"-1, 公差 1 項数 21 の等差数
列の和であるから
S=1/1212"-12.2"-' + (2'-' − 1).1}
=2"-2(3.2"-1-1)
228 分母が同じ分数を1つの群として考えると
11 2 1 2 31 2 3
4
2
3 3 4 4 4
5' 5' 5'5
第n群の項数はnである。
(1) 分母がnの項は第(n-1) 群に入るから、
(L+BSB-11++
は第11群の7番目の数である。
第1群から第10群までの項の総数は
1 + 2+ ...... + 10= --10(10+1)
=55
6'6
55+7=62 であるから,
は 第62項
3 12
(2) 第1群から第n群までの項の総数は
1+2+...
......+n=n(n+¹)
よって、 第200項が第 n群に入るとす
(n − 1)n <200≤ n(n+1)
すなわち (n-1)n<400≦n(n+1)
19.20=380,20.21=420 であるから、
す自然数nは
n=20 +-
第1群から第19群までの項の総数は
---
19.20=190
よって, 第200項は第20群の 10番
10
ら
21

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

写真に解説書きました。説明の都合上、公差d=2だと計算が少しだけ楽になるので、あえてd=3の場合に変えていますが、本質的に一緒です。
この説明を見て、分からないところがあれば聞いてください。その上で解けたら226の(1)や(2)にも挑戦してみてください。

ブドウくん

補足
今回はたまたまイからアを引いたらSとなって、求めるものになりましたが、例えばr=5なら引いたときに5S-S=4Sとなるので最後に4で割らないといけないことに注意してください。あとこの解き方は等比数列の和の公式の証明そのものであることも抑えておくべきポイントです。

あんこ

ありがとうございます！！
ずっと数列のこの部分が謎だったので、教えてもらえて良かったです🫡
同じような問題も何問かといてみようと思います！