Question

endeavor

（2）番についての質問です。
問題文の条件では次の方程式が異なる2つの実数解を持つような点（a,b）の時と書かれてますが 、

Q1異なる2つの実数を持つというのは
log2（x^2+t）=tと置いた時、tが2つの存在する事であるのに、解答の青色波線部
t=0の時x=0より1個
t＞0の時x^2＞0から2個
とxについて考えているのか

Q2 問題文の大元の条件では異なる2つの実数解を持つ時であるのに、なぜ結果的に正の重解を持つ時も考えているのか。
ちなみに、解答点線部②がt＞0の範囲に1つの実数解を持つことであるの意味からよく分かってません。

Q3 1つ目の場合分け重解について、
この時の重解について t=- -a/2・1=a/2＞0
の部分の式がどこから来たのか。

そして、場合分け2つ目について、
αβ=α+βがなぜ成り立つのか、そしてなぜそれが０より小さいと分かるのか。

長々と色々な質問をしていますが、解答頂けると助かります。

たえで10
練習
a,bは定数とする。 次の方程式が異なる2つの実数解をもつような点 (a, b) 全
187 体の集合を, 座標平面上に図示せよ。
(1) 4*+α・2x+1+b= 0
(2) {log₂ (x²+1)}² − a log₂ (x²+1)+a+b=0
[(1) 類 広島大]
(p.294 EX121

(2) 10gz(x2+1)=t
方程式は
t²-at+a+b=0
x≧0よりx2 +1≧1 であるから
したがって
t≧0
①を満たすxの個数は
t=0のとき x=0から1個, t>0のときx2 > 0から2個。
求める条件は、 2次方程式 ② がt>0の範囲に1つの実数解を
もつことである。 ゆえに, 次の [1], [2] の場合である。
[1] 2次方程式 ② が正の重解をもつ。
判別式について
このときの重解について
① とおくと,
②
log2(x2+1)≧log21=0
......
D=(-a)²-4·1·(a+b)=0
t=__a
=-2-1 = ²/²0
->0
2･1
=1/a-aかつ a>0..… ③
a²
4
よって
[2] 2次方程式 ② が正解と負の解をもつ。
2つの解をα, β とすると
aβ=a+b<0
......
よって
b<-a
4
③ ④ の範囲を図示すると、 右の図の
斜線部分および太い実線部分のよう
になる。ただし,直線 6 = -α上の点
は含まない。
6本
b=1a²-a
4
←例えば、t=1のとき
x2+1=2
b=-a
ゆえにx2=1
よってx=±1
このように、t>0のとき
1つのtの値に対し, x
の値は2個ある。
←解と係数の関係による。
←b=-ab=1/a-a
に代入して d²=0
a ゆえに a=0 (重解)
よって、 直線 6 = -α と
放物線b=d-a は原
点で接する。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

aporon

A1
もとの方程式とlog₂(x²+1)=tと置き換えた方程式の個数は一致しません。
右の注釈にもあるように、tの値1つに対して、t>0ならばxの値は２つあります。
xが異なる２つの実数解をもつためには、t=-1の解だとx²+1=1/2となり、xは虚数解をもってしまい不適です。

A2
正の重解であれば、tの値が1つなので、xは異なる２つの実数解をもちます。tの値が2とも正となると、xは異なる4つの実数解を持ってしまいます。

A3
二次方程式が重解をもつとき、その解は係数から求められます。
αβ=a+bは解と係数の関係です。αとβは異符号なので、その積は負ですね

endeavor

回答ありがとうございます！
A1からA3まで理解ができました！
迅速な対応ありがとうございます！