Question

めい

帰納法の仮定よりの行から分からないです
左辺は理解出来たのですが、右辺がよく分からないです、、、

任意の自然数nに対して,
が成り立つことを証明せよ.
2" +18≧2n²

n に関する数学的帰納法で示す.
(I) n=1のとき
(左辺)=20, (右辺=2
n=2のとき
(左辺)=22, (右辺) = 8
n=3のとき
(左辺)=26, (右辺) = 18
n=4のとき
より
(左辺) = 34, (右辺)=32
n=5のとき
(左辺)=50, (右辺) = 50
より, 与えられた不等式が成り立つ.
(II)n=k(≧5)のとき与えられた不等式が成り立つと仮定すると
2'≧2K²-18
22
(e)o)
ant
JE (DA
366512
2k+1+18-2(k+1)^≧2(2²-18)+18-2(k+1)² (帰納法の仮定より)
=2(k-1)²-22≥0 ( k≥5)
BOLO
... 2+1+18≧2(k+1)2
よって,n=k+1 のときも与えられた不等式が成り立つ
以上(I), (ⅡI)より,題意が示された. ☐8≤15) (11)0,00 (9.(90

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あつし

こんな感じです。

めい

なんで18-2（K＋1）²をしてるんですか？
そもそも帰納法の仮定が全然頭に入ってなくて、、

あつし

そもそも数学的帰納法の証明はn=kときの仮定を使って、n=k+1のときも成り立つことを証明するというものです。
なので、証明するときに使える式を立てる必要があり、それが仮定というものです。今回はn=kのときの仮定を使って、n=k+1のときも不等式が成り立つことを証明したいのです。（簡単に言えば仮定の式を無理矢理使ってk+1の式を作る感じです。）

めい

理解出来ました！！！
丁寧に解説してくださってありがとうございます！

あつし

良かったです。勉強頑張ってくださいね。