Question

ふぃり

数学得意な方お願い致しします。

整式P(x)を(x-1)^2で割った時の余りが4x-5、x+2で割った時の余りが-４である。(x-1)^2(x+2)で割った時の余りは？

解答では(x-1)^2(x+2)Q3(x)+c(x-1)^2+4x-5と表しているのですが(x+2)でも解けますか？式がどうなるか教えていただきたいです。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ゲスト.

(x-1)^2(x+2)で割った時の余り
=(ax+b)(x+2)-4 ← (x+2)で表したやつ
=a(x-1)² +4x-5 ← (x-1)²で表したやつ

ax²+(2a+b)x+2b-4＝ax²+(4-2a)x+a-5

2a+b=4-2a→b=4-4a
2b-4=a-5→a=2b+1

b=4-4(2b+1)→9b=0→b=0
a=1

よって求める余りは
x²+2x-4

ふぃり

返信遅れて大変申し訳ございません。まさに聞きたかった事です…なるほど新たにxの式を立てるのですね！わざわざありがとうございます😭

Answer 2

BA1000　数検準1級取得者

まず3次式で割ると余りは2次式である。
P(ⅹ)＝(ⅹー1)²(ⅹ＋2)Q3(ⅹ)＋c(ⅹー1)²＋4xー5ー①
このように置ける理由を説明すると
①を(ⅹー1)²で括ると
P(ⅹ)＝{(ⅹ＋2)Q3(ⅹ)＋c}(ⅹー1)²＋4ⅹー5ー②
②より{　}の中は商であるから
P(ⅹ)＝商×(ⅹー1)²＋4ⅹー5ー③
③からP(ⅹ)を(ⅹー1)²で割った時の余りが4ⅹー5
であるから①のように置くことができる。
P(ⅹ)を(ⅹ＋2)で割った時の余りがー4だから
P(ⅹ)＝(ⅹ＋2)×商＋ー4
ⅹ＝ー2を代入すると商が消えて余りー4のみが残る。
x＝ー2を①に代入すると
余りc(ー2ー1)²＋4(ー2)ー5が残る
これがー4と等しいから
9cー8ー5＝ー4　　c＝1
後はc＝1を①の余りに代入して余りを求める。
分からない場合は質問して下さい。

ふぃり

大量な文字式お手数お掛けしました…めちゃくちゃ助かります！
てことは①のc(x-1)^2+4x-5が、例えばc(x-2)+4などと置けないのは二次式を満たしていないからでしょうか？

ふぃり

つまりこういうことを聞きたくて…こちらも画像添付させて頂きます…！

BA1000　数検準1級取得者

n次式(ただしnは2以上の整数)で割ると余りは(nー1)次式となる。
余りが2次式の場合は
c(ⅹー2)＋4(cは定数)は1次式となるから
置くことが出来ない。
2次式となる
c(ⅹー2)²＋4ⅹ＋5と置くことができる。

BA1000　数検準1級取得者

(ⅹー1)²(ⅹ＋2)は3次式であるから
余りは2次式でなければならない。
c(ⅹ＋2)＋4は1次式となるから
余りとして置くことが出来ない。

ふぃり

了解です、ご丁寧にありがとうございました。とても分かりやすかったです！

BA1000　数検準1級取得者

いえいえ。よかったです。

Answer 3

かきつばた

質問の意図がマジで汲み取れない

ふぃり

大変失礼致しました。文字だと見ずらいので不明な点と共に画像添付させて頂きますね。

ふぃり

↑要するに、(x+2)とその余りの4を用いて変形できないのかという意味です。

かきつばた

それ出来たら
商が変わってこない？最初に設定した(x-1)²(x+2)で割った商が違うことになっちゃうからやらないよ。
なんでc(x+1)²を出すかは(x+2)で割った時、(x=-2を代入した時)にあまりの次数が割る数よりも大きくなるからって思っとき

ふぃり

返信遅くなりました。なるほど、その発想があれば今後怖くないです！凄く納得できました…ご丁寧な解説ありがとうございます。あと質問意図を明確にできるよう頑張ります。

かきつばた

こっちも汲み取れるように頑張るよ