Question

桐ヶ谷くん

この問題の(2)について。
私は次のような解答を作りました。

a,b,cの少なくとも1つが3の倍数ならば積abcは3の倍数である。
ここで、a,b,cがすべて3の倍数でないと仮定する。
このとき、a^2+b^2を3で割った余りは2 ((1)より)
c^2を3で割った余りは1((1)より)なので、
左辺の余りと右辺の余りが一致しないので矛盾。
したがってa,b,cの少なくとも1つは3の倍数なので、積abcは3の倍数。

この解答は正しいですか？
また、正しくないのなら、どこが間違っているか教えて欲しいです。

XA
解答は27ページ
**************.
11 Lv.★★★
a,b,c を正の整数とする。
(1) α²を3で割った余りは0または1であることを示せ。
(2) d'+6°= c° を満たすとき, a,b,cの積abe が3の倍数であることを示せ。
(8) a²+6°= 225 を満たす a b の値を求めよ。
(関西大)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

函館駅前

いいと思いますよ。背理法で攻めていくのはgoodかと。
他にも(1)からb²の余りが0または1であるから
a²=3k+r、b²=3l+r'(ただし、k,lは整数、r,r'は0または1)と表される
よってa²+b²=3(k+l)+r+r'
r+r'=0または1または2のいずれかで
a²+b²=c²を満たすとき,c²の余りは0または1であるからr+r'は0または1の値しかとらない。
即ちa²+b²は少なくとも一方は3の倍数である。
……
このやり方と本質的には似てるみたいなものだし。問題ないでしょう。
(2)ができなくても(3)はできるので、仮に本番(2)解けなくても(3)の点を取りに行けるからね。

桐ヶ谷くん

了解です。
ありがとうございます！

函館駅前

もし違った怖いので、一度先生とかに見てもらうのがよいと思いますよ。
でも概ね問題と思いますよ。