Question

ぴよちゃん

数IIの剰余の定理の問題です。
解答の9行目･･･①の所がax²+bx+cがa(x-1)²+4x-5になる理由を教えて欲しいです。

あると P(x) を (x-1)(x-2)(x-3)で割った余りを求めよ。
(2) 多項式 P(x) を (x-1) で割ると余りが 4x-5, x+2で割ると余りが
-4 であるとき, P(x) を (x-1)(x+2) で割った余りを求めよ。

(2) P(x) を (x-1)(x+2) で割ったときの商を
Q(x) とする。8+88=18-)-=y+q+p
このときの余りは、 2次以下の多項式または0で
あるから, ax+bx+c (a,b,cは定数) とおけ
る。
2 SS-
よって P(x)=(x-1)(x+2)Q(x) + ax2+bx+c
さらに, P(x) を(x-1)2で割ると余りが 4x-5
であるから
3+x)(8+8+
+10)
P(x)=(x-1)(x+2)Q(x)+α(x-1)2+4x-5
と表される。
P(x) を x+2で割ると余りが -4であるから
P(−2) = -4
また, ① から P(−2)=9a-13
よって
9a-13=-4
COVE
したがって、求める余りは
すなわち x2+2x-4
①
(1)
ゆえに α=1
(x-1)2+4x-5

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

①の式を(x-1)²でくくると
P(x)＝(x-1)²{(x+2)Q(x)+a}+4x-5
とできます。
(x+2)Q(x)+aが商になり、あまりが4x-5とあらわせるので、このような式になっています。

もっというと、
ax²+bx+cを(x-1)²で割ると、商がaであまりが4x-5になるので、
ax²+bx+c＝a(x-1)²+4x-5
となり、ax²+bx+cの代わりになります。

ぴよちゃん

このaはどこから来ましたか？

きらうる

商がaになります

ぴよちゃん

(b+2a)x+c-aはどこにいきましたか？

きらうる

それがあまりの4x-5になるんです
どこかにいったわけでなく、
(b+2a)x+c-a =4x-5
なのです

ぴよちゃん

理解出来ました！ありがとうございます🙇‍♀️💦

Answer 2

シロkun（名前変更）

6行目の式をみてみると
P(x)という式を(x-1)²(x +2)で割った時の商がQ(x)であまりがax²+bx+cであるということを言っていますね。これを変形したのが9行目の式です。
条件からP(x)を(x-1)²で割ると4x-5余ると分かっているので、9行目の式になります。
→ P(x) =(x-1)²(x +2) Q(x)＋a(x-1)²+4x-5
この式が言っていることはP(x)を(x-1)²で割ると4x-5余るなんですが…そこが難しいですよね
要するにこの式を次のようにくくってみます。
P(x) =(x-1)²｛(x +2) Q(x)＋a｝＋4x+5
こうしてみると、理解できるんじゃないですかね？
こうやって条件を書き換えてみるとうまくいくもんです。この単元はこういう分かりにくいのが多いので具体的な数値で考えたり、または解放暗記をお勧めします😆

ぴよちゃん

ようやく理解出来ました💦ありがとうございます