数学
高校生
解決済み
「√3が無理数である」を背理法を利用して証明する方法についてです。
√3はある自然数m、nを用いて√3🟰m/nと書いてあるのですが、なぜm/nとするのですか？
(2) √3 無理数でないと仮定すると, √3 は有理
数であるから, 1以外に正の公約数をもたない2
つの自然数m,nを用いて
√√√3 =
m
n
と表すことができる。
このとき √√3n=m
両辺を2乗すると
3n²=m²
よって, m²は3の倍数である。
(1) により, m² が3の倍数ならば、も3の倍
数である
mは,ある自然数kを用いてm=3k と表される
から,①に代入して
3n2=9k2
①
すなわち
n2=3k2
よって, n2は3の倍数となり (1) により, nも
3の倍数となる。
これは、mとnが1以外に正の公約数をもたな
いことに矛盾する。
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