Question

コロッケ

[1]で
a<0なのに3a>0になるのですか?

基本例題 90 ある
<基本的
0≦x≦2の範囲において、常に x-2ax+3a> 0 が成り立つように、定
αの値の範囲を定めよ。
CHART OLUTION
解答
ある変域で2次不等式が常に成り立つ条件
2次関数のグラフから読み取る
ある変域でf(x) 0(変域内の最小値) > 0
変域に制限があるから、²の係数>0 かつ D<0 だけで済ませてはダメ。
問題をグラフにおき換えると,求める条件は 「y=x-2ax+3a のグラフが
0≦x≦2の範囲でx軸の上側にあること」である。
これを(変域内の最小値) > 0 と考えてみる。 ...... [
この最小値の求め方は、 基本例題62 (p. 104) を参照。
y=x²-2ax+3aのグラフは下に凸であるから, 軸が変域の左外、内、右外で場
合分け
f(x)=x2-2ax+3a とする。
求める条件は 0≦x≦2の範囲における関数 y=f(x) の最小
値が正であることである。
f(x)=(x-a)^²+3α であるから, y=f(x)のグラフは下
に凸の放物線で、その軸は直線x=α である。
[1] a < 0 のとき
f(x)はx=0 で最小となる。
よって
f(0)=3a>0 これは, a<0 を満たさない。
[2] 0≦a≦2のとき
f(x)はx=αで最小となる。
よって f(a)=-a²+3a>0 すなわち
これを解くと, α(a-3) <0 から 0<a<3
これと 0≦a≦2の共通範囲は
[3] 2 <a のとき
f(x) は x=2で最小となる。
よって f(2)=4-a>0
これと 2 <a の共通範囲は
2 <a <4 ...... ②
求めるαの値の範囲は, ①②
を合わせて
0<a<4
0<a≦2 ①
ゆえに
a²-3a<0
a<4
4
a
V
[2]
[3]
02x
N
0 2
X

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

朝ごパン

条件としてaが負の時としているので答えが3a>0となり答えにある通りaが正になってしまいます。
なのでここでは矛盾が生じるため1番目の条件は満たさないという事です

コロッケ

間違ってるから満たさないってことですね。ありがとうございます。