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参考・概略です
勝ち負けが決まるという事が、
2種類の手のみが出るという事である事に注目します
①2種類の手を考える
グー、チョキ、パーから2通り・・・₃C₂=3通り
②勝ちの人数と勝つ人間を考えると
4人勝ち・・・₅C₄=5通り
3人勝ち・・・₅C₃=10通り
2人勝ち・・・₅C₂=10通り
1人勝ち・・・₅C₁=5通り
●以上から
3×(5+10+10+5)=90通り
補足
勝ち負けが決まらない場合
㋐1種類の場合:3×1=3通り
㋑3種類の場合:3×20+3×30=150通り
㋒全体:3⁵=243通り
ありがとうございます!!