Question

Nちゃん

写真の問題で、f’xが連続な関数であることを解答が確かめていないのはどうしてですか？？解説お願いします🙏

129 αを正の定数とし,関数 f(x) を以下のように定める. f(x) を以下のように定める.
log.x
f(x) = - -(x>0)
(1 + x)。
このとき,次の問に答えよ.
1
(1) edとedの間にf'(c)=0となるcが存在することを示せ.

129
<解答> (1) f(x)=
logxのとき,
(1+x)a
f'(x) = x
=
1 (1+x)" -logx a(1+x)a-1
=
(1+x) ²a
1. (1+x) - alogx
X
(1+x)a+1
1
1+ = - alogx
X
となるcが存在する.
(1+x)a+1
1
g(x)=1+--alogxとおくと,
X
g(eª)=1+e ªa= e ª > 0
Ite a
a
a
2
2
2
2
g(eª)=1+ea - a=-1+e a <0
a
f'(x)とg(x) の符号は一致するので,
2
f(eª)>0, f(eª) <0
よって, 中間値の定理より、
2
f'(c)=0, eª <c<eª
eª sese