接する点を求める時D=0として求めるのはなぜですか？教えて欲しいです！
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質問に回答すると、接する点を求めるときは判別式をD=0とすることで放物線と直線がただ1点で接しているとなることを示しているからです。
判別式について解説すると、
判別式D=b²-4ac（またはD/4=b²-ac）はとる値によって放物線と直線がどのような位置関係にあるのかを示してくれます。
(一般的には2次関数とx軸との共有点の個数を求めるときに用いますが、それと同様に)
判別式がD>0のときは共有点が2個ある、つまり放物線と直線が2点で交わっているという状況にあります。
判別式がD=0のときは共有点が1個ある、つまり放物線と直線がただ1点で接しているという状況にあります。
判別式がD<0のときは共有点が0個、つまり放物線と直線はどこにも接していないという状況にあります。
このように、判別式Dはとる値によって放物線と直線が3パターンのいずれかの状況であることを示してくれます。
まず前提として、ax²+bx+c=0という式を変形していくと写真の様になり、いわゆるxの解の公式が導けます。
ここで199番の解答を見てみますが、1-3行目でやっているのは「2本の放物線のy座標の差を取ることで、「放物線①とx軸が接する時のkの値は？」という問題に帰着させる」ということです。(これが一番大事なので、理解出来なかったらすぐに言って下さい)
というわけで①とx軸が接する時を考えるのですが、これは①が解を1個だけ持つ時は？という問題に言い換えられますよね？
ここで前提に戻りますが、解の公式ではxの解は2つあります。しかし今回は解を1個だけ求める時を聞かれています。
そこで、解の公式の2つを見比べてみて下さい。
すると、これらが同じ値になるためには、ルールの中身が同じ値になる必要がありませんか？
よって、b²-4ac=0となる場合を考えれば良いと分かります。
判別式Dとはこのb²-4acのことで、今と同様に考えることで解が2つのとき・解が0個のときのDの正負も証明出来ると思います。
勢いでここまで書いてしまったので多分相当分かりにくい説明だと思うので、不明瞭な箇所などがあれば遠慮なく仰って下さい
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1点で交わるからなんですね！！！すごくよく分かりました！！ありがとうございました！！