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2点の組すべてについてつながれているかつながれていないかが一致しているつなぎ方全体を1通りと考えるからです。
4 4
213 と 315
5 2
は同じものとみなされます。
よって中心にくる数字を決める5通りだけです。
数学
高校生
解決済み
(2)の(D)が5通りになるのはなぜですか？
私は5×(4-1)!として計算しました
第3問 (20点)
ぎ方について考える。 2つの点の組を2本以上の線で結ぶことはないものとする。 2点の組すべてに
れは2以上の整数とする. 1,2,…,nの番号がついた複数の点の間のいくつかを線でつなぐつな
ついてつながれているかつながれていないかが一致しているつなぎ方全体を1通りと考える。ある点
aから線でつながれた点を次々に移動して別の点に到達できるとき, aとbは連結であるというこ
とにする。また,ある点aから線でつながれた点を逆戻りせずに次々に移動して元の点aに到達でき
るとき,そのつなぎ方にはループがあるということにする.
ST
図1
図2
X//
図3
2点の組を2本以上の線で結ぶ
ことはない
(A)
2
3
このような場合はループがある
00=d+a is
なお,線と線は交差していてよいが, 交差しているところで移動の切り替えはできないものとする。
3の場合,どの2点も連結でループがないつなぎ方は3通りである.
3
1と3,2と3は連結ではない
2
(1)=4の場合について,どの2点も連結でループがないつなぎ方について考える。このときつな
方には次の(A), (B)の2つのパターンがある。
3
(B)
ラブについて
20
パターン(A)についてはたとえば図の左から順に1,2,3,4と点が並ぶ場合と右から順に 1,2,
3,4と点が並ぶ場合とが同じ場合であることに注意するとアイ通りとわかる。 パターン(B)に
ついては他の3つの点とつながる点に着目すると
ウ | 通りとわかる 2点の組すべてをそれぞ
れ無作為につなぐかつながないかを等確率 1/2ずつで定めてゆくと仮定する。このとき,どの2点
も連結でループがないつなぎ方になる確率は
エ
(アイ+ウ)×(12) 国
で計算できる.
(2) n=5の場合について,どの2点も連結でループがないつなぎ方について考える. このときつな
(C), (D), (E) の3つのパターンがある。
図 4
(C)
チツ
テト
(E)
である.
特に(E)のパターンについてはオカ 通りであり, どの2点も連結でループがないつなぎ方は
キクケ 通り, 2点の組すべてをそれぞれ無作為につなぐかつながないかを等確率ずつで定め
1
2
コサシ
スセンタ
てゆくと仮定するときにどの2点も連結でループがないつなぎ方になる確率は
20
thos. ECT., JARA
********
る。また,2点の組すべてをそれぞれ無作為につなぐかつながないかを等確率 1/2ずつで定めてゆ
くとどの2点も連結でループがないつなぎ方になったとき, パターン(E)のつなぎ方である条件付き
**00043 (0) 08-E-A-
確率は
てどの2点の組についてもつなぐ確率が
(7)
の2点も連結でループがないつなぎ方になる確率は
(H)
つながない確率が
であ
(3) 2点間をつなぐかつながないかが等確率でない場合についても考えてみる。 n=4 の場合につい
TERA
ナニヌ
ネノハ
JANK
で無作為につなぐとすると、ど
3
である.また, n=5の場合につい
5
どの
つながない確率が1/3で無作為につなぐときに、
2点も連結でループがないつなぎ方になる確率をP,どの2点の組についてもつなぐ確率が1
てどの2点の組についてもつなぐ確率が一
3'
5.4.3.2.1
2
2
つながない確率が / で無作為につなぐときに,どの2点も連結でループがないつなぎ方になる
3
率をQとするとヒである。
解説
(1) n=4 の場合について考える。 どの2点も連
結でループがないつなぎ方には問題文で示された
(A), (B)の2つのパターンがある. パターン(A)につ
いてはたとえば図の左から順に 1, 2, 3,4と点が
並ぶ場合と右から順に 1, 2, 3, 4 を点が並ぶ場合
とが同じ場合であることに注意すると
4.3.2.1
-=12 (通り) とわかる. パターン(B)につい
2
ては3つの点とつながる点がどの点かを考えて
4通りとわかる。 2点の組すべてをそれぞれ無作
1
為につなぐかつながないかを等確率 ずつで定
2
めてゆくと仮定すると、 どの2点も連結でループ
がないつなぎ方になる確率は, 2点の組の選び方
が 4C2=6 (通り)あることより (12+4)×(1/2)で
計算できる.
(2) n=5の場合について考える。 どの2点も連
結でループがないつなぎ方には問題文で示された
(C), (D), (E)の3つのパターンがある。 (E) のパター
ンについては,3つの点がつながる点を一方の端
とする3つの点の連なりに着目して
5・4･3=60 (通り) とわかる. (C), (D) のパターンに
ついてはそれぞれ
-=60(通り), 5通りであるから,どの
2点も連結でループがないつなぎ方は
60+60+5=125 (通り) である。 2点の組すべて
をそれぞれ無作為につなぐかつながないかを等確
率 1/2ずつで定めてゆくと仮定するときにどの2
点も連結でループがないつなぎ方になる確率は,
2点の組の選び方がC2=10 (通り) あることより
125･
125
1024
- (-¹/2)¹⁰= である.また,2点の組すべ
てをそれぞれ無作為につなぐかつながないかを考
確率 1/2ずつで定めてゆくときどのようなつなぎ
の確率だから、どの
1
方になるかはどれも |1024
点も連結でループがないつなぎ方になったとき、
パターン(E)のつなぎ方である条件付き確率はつな
ぎ方の数の比を考えて 125 25
60 12
である.
(3)=4 としてどの2点の組についてもつなぐ
確率が つながない確率が 13 で無作為につな
1
2
3'
ぐ場合について考える。 どの2点も連結でループ
がないつなぎ方になる場合はどれも2点の組6組
中の3組でつなぎ3組でつながない場合だから,
第
その確率は16・ (13)(13) 2-128である。また,
729
n=5としてどの2点の組についてもつなぐ確率
1
3
が
3/3, つながない確率が で無作為につなぐと
3'
きに,どの2点も連結でループがないつなぎ方に
なる確率をP,どの2点の組についてもつなぐ
exy ass
2
率が1/13, つながない確率が1/30 で無作為につな
ときに,どの2点も連結でループがないつなぎ
になる確率をQとすると、 どの2点も連結でル
プがないつなぎ方になる場合はどれも2点の
10組中の4組でつなぎ6組でつながない場合
つなぎ方の数は同じだから
である。
(-3)*(-3)*
(3) (1)
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