Question

もも氏

どうやってb＝-2aのグラフがb＝a^3-2aのグラフに接しているとわかるんですか？

例題225 3本の接線が引けるための条件(2) 本
点P(α, b) から曲線 y=x-2x に異なる3本の接線が引けるとき,点
ARSEBORGS
P(a,b) の存在範囲を図示せよ.
|解答 y=x-2x より, y'=3x2-2
したがって, 曲線上の点 (t, ピー2t) における接線の方程
式は,
U
考え方 曲線上の点(t, ピー2t) における接線の方程式に (a,b) を代入した3次方程式が,異
なる3つの実数解をもつための条件をa, bに関する不等式で表す。
d
y-(t³-2t)=(3t²-2)(x-t)
つまり,
y=(3t2-2)x-2t3
この直線が点(a,b) を通るので,
b=(3t²-2)a-2t3
より
2t3-3at2+2a+b=0
..... ①
t の方程式 ①が異なる3つの実数解をもつような (a,b)
の条件を求める.
f(t)=2t-3at2+2a+b とおくと,
at 14 f'(t)=6t2-6at=6t(t-a)
f' (t)=0 とすると,
t=0, a
したがって, ① が異なる3つの実数解をもつのは,
y=f(t) のグラフが t軸と異なる3点で交わるときより,
a≠0 かつf(0)・f(a)<0
SAMLE
f(0)・f(a)=(2a+b)(-ω°+2a+b)<0より,
[2a+b>0
1-a³+2a+b<0
[b>-2a
つまり,
よって、求める領域は,
右の図の斜線部分で,境
界線は含まない .
ANDA
HA
いよい
b<a³-2a
または {20+2a+b>0
または
どうやって
このグライカツ
[b<-2a
でるのか.
b>a³-2a
-√√2
ba b=a³-2al
が接する
2
どうやっ
れからの
502
a
****
b=-2a
13
a>0のとき
f(0)>0
AV.
a
0
!
f(a)<0
a<0 のとき
f(a)>0
A
xC
x
f(0)<0
f(a) f(0) が異符
号
a=0のとき,
f(0) f(a)
={f(0)}^≧0
より α = 0 は
f(0) f(a)<0に含ま
れている.
原点で接する.
A
co
O≤6
解答

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

実際に調べてみれば確実ではありますね

交点はどこか調べる
bを消して-2a = a³-2a
a³=0
a=0
よって交点は(0,0)

あとは、単に交わるか接するのか
b=a³-2a
微分して3a²-2
(0,0)での接線の傾きは-2
一方b=-2aの傾きは-2
だから(0,0)で接します

そんなに手間ではないですね