Question

ふーか

2^n-1が答えだと思ったのですが、答えを見るとこれは答えではなく、「2^n-1番目の正の奇数」と書かれていました。この言葉を見てもいまいち納得できません。
どうしてこうなるか教えてください。

284 奇数の列を次のように1個,2個,4個,8個と群に分
ける。
1|3,5|7, 9, 11, 13 | 15, 17, ….…, 29 | 31,
(1) 第n群の最初の奇数を求めよ。
....

284 (1) n ≧2のとき、 第1群から第 (n-1) 群ま
でに含まれる奇数の総数は
1+2+4+
L, I1(2n-¹-1)
1(2−1−1)
2-1
+2n−2.
000=2n−1−1
-
よって,第 n群 (n≧2) の最初の奇数は、2n-1
番目の正の奇数で
3=212+in-1)☆
(+D) = 2.2"-1-1=2"-1
この式はn=1のときにも成り立つ。
STRAAL
よって, 求める数は 2" - 1

284
(1)ant
-)d
bn 2
3.7.15.31...
し
16
V
X2
Vu
An =
=
4
v
X2
q
(
bn = 2.2²²1 = 2^
zk
X2 X2
U-1
1 +222
K=1
1 + 2^² - 1
V
|+
D
29-11
2-1
n-l
2

数b 数列 郡数列

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

たとえば第4群の最初は、初項から
1+2+4+1 = 8番目にあります
そこに「8」という数があるわけではありません

同様に、1+2+4+…+2ⁿ⁻²+1で得られるものは
第n群の最初の「番目」です

3枚目の方法は、1,3,7,15,31の5項しかわかっておらず、
6項目以降も同様のルール（階差がbₙ）で並んでいる
という憶測、見込みで考えているので、
あまりよい方法とは思えません

ふーか

回答ありがとうございます!
2^n-1番目という考え方がよく分かりました。

ですが、解説の本に書いてある解き方がよく分からなくて、3枚目の写真のように解く方法しか出来ません。
どのように解いたらいいのか教えてくださいますか？
よろしくお願いします。

おえおう

{bn}の初項が2なので階差の和の部分に2を掛ければいいと思います。そうすれば答えと一致します

和

①第何項か（初項1から数えて何番目か）がわかれば
そこに入っている数が何かがわかる
これはもとの数列の一般項を求めておけばよい

第n項は2n-1です
「第n群の最初」が第○項とわかれば、その項は2○-1です

②群の最初が第何項かは、
そこまでの群の各項数をすべて足し、
さらに+1すれば出る
第n群の最初は、1〜n-1群の項数をすべて足し+1する
ところで第n群には2ⁿ⁻¹個の数が入っている

これを踏まえて、第n群最初の項は、初項から
1+2+4+8+…+2ⁿ⁻² +1 = 2ⁿ⁻¹
番目にあります
つまり第2ⁿ⁻¹項

①②より、第n群最初にある数は2×2ⁿ⁻¹-1 = 2ⁿ-1です

ふーか

丁寧に解説してくださりありがとうございました。
もう一度解いてみます！

Answer 2

MathLove

郡数列における階差数列を使った解法は場合によっては減点や0点にされることもあるので解答のようなやり方でできるようにした方が良いと思います。