Question

ゆめら

見にくくてすいません。
答えは最大√２最小−√２です

わからないので教えてください🙇‍♀️

P RACTICE 22
実数x, y, a, b が条件 x2+y2 = 1 および 2 +62=2 を満たすとき, ax+by の最大
値、最小値を求めよ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

塾講師 「たおたん先生」

x^2+y^2=1より
x、yを原点Oを中心とする半径1の円周上の点Pのx座標、y座標と同じと考えれるのでx軸の正の部分からOPまでの変角をθとすると
x=cosθ、y=sinθ (円を何周しても状況は変わらないので、θは1周を考えるだけで十分。よって0≦θ<2πとする。)

a^2+b^2=2より
a、bを原点Oを中心とする半径√2の円周上の点Qのx座標、y座標と同じと考えれるのでx軸の正の部分からOQまでの変角をφとすると
a=√2cosφ、b=√2sinφ (円を何周しても状況は変わらないので、φは1周を考えるだけで十分。よって0≦φ<2πとする。)

ax+byにx=cosθ、y=sinθ 、a=√2cosφ、b=√2sinφ を代入すると
ax+by=√2cosφ×cosθ+√2sinφ×sinθ
=√2(cosφ×cosθ+sinφ×sinθ)
=√2cos(φ−θ)

0≦θ<2π、0≦φ<2πより
−2π<φ-θ<2π
よって -1≦cos(φ−θ)≦1
-√2≦√2cos(φ−θ)≦√2
　　　-√2≦ax+by≦√2
よっえax+byの最大値は√2、最小値は−√2

ゆめら

丁寧にありがとうございます😊
とてもわかりすかったので理解できました！