Question

らたはん

この問題の(13)を背理法で解きたいのですが、n²をnに戻した時、8が2√2になってしまって4の倍数として表せなくてよくわからないです。

4 次の問いに答えよ。
(12)次の命題の逆、裏、対偶を記せ。 また、それらの真偽を述べよ。 ただし、 a, b は実数とする。
「abが無理数ならば、 αが無理数かまたは6が無理数である。
」
(13) n を自然数とする。このとき、nが8の倍数ならばnは4の倍数であることを証明せよ。

背理法 命題

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

背理法で示すなら、
「示したい結論を否定した命題」を仮定して話を進め、
矛盾を導きます

つまり、
n²が8の倍数で、かつnが4の倍数でない……★
そういう自然数nがある
と仮定し、ここから矛盾を導きます

このとき、n²=8kからスタートしてしまうと、
あなたの言うとおり、なかなかうまく進みません
証明が難しくなります
（nを2回かけて8の倍数ということは、
少なくともnは2の倍数でなければならない
するとn=2Lとおけて、……と少し長くなります）

「nが4の倍数でない」からスタートした方がいいです
つまり、たとえば
①n=4k+1の場合、n²が8の倍数にならない
②n=4k+2の場合、n²が8の倍数にならない
③n=4k+3の場合、n²が8の倍数にならない
ことをすべていえば、
nが4の倍数でないとき、必ずn²が8の倍数にならない
といえます
つまり、★を満たす自然数nは存在しません
これが矛盾です

結局、やることは対偶法での証明と同じ感じですね

らたはん

ご教授ありがとうございます🙇‍♀️
無理に背理法だからといってn²が8の倍数であることから書き出さなくていいんですね！

Answer 2

BaSO4

対偶から証明する問題だと思いますが、背理法が良いのですか？

らたはん

はい、塾で対偶で証明したのですが、証明の練習として背理法で証明してくるよう課題を出されました💦