Question

とりっぴー

解説を読んでもなかなか理解できず困っています。
3つの青い線を引いた箇所がなぜそういう式変形になるのか教えて頂きたいです！回答よろしくお願いします！

例題 72
微分係数の利用 (1)
****
微分係数を利用して,次の極限値を求めよ.
199
解答 (1) lim
ex-1
(1) lim
110 x
を用いてよ
sinx-sina
(2) lim
(aは0でない定数)
x³-a³
11a
log(x+1)
(3) lim
x 0
tanx
考え方 関数f(x)のx=q における微分係数f(a)は,
f'(a)=lim
f(ath)-f(a)
914
または,f(a)=limf(x)-f(a)
x-a
xa
である.この定義をどのように活用するか考える.
(1) lim e-1は、②において、a=0 の場合と考えられるが,
x
exの2xに着目すると, 分母のxが2x であれば,
合
e2x-1
x 0 x
lim2.
e2x-eº
x0 2x
(2) lim
xa
=lim
x a
=lim
x → a
-=2・1=2
sinx-sina
x³-a³
sinx-sina
(xa)(x²+ax+α²)
x2+ax+a2
1
Ea²+a+a
sin x-sin a
x-a
cosa
cos a
3a²
A-m
log(x+1)
(3) lim
110 tanx
414
=lim
10
110
log(x+1)-log(0+1)
x-0
tan x-tan0
x-0
e2-1
e2-e°
lim
=lim
-=1
x 0 2x
018
2x
3
となりのx=0における微分係数として求めることができる.
Focus
(2) lim
sinx-sina -は,f(x)=sinx のxaにおける微分係数として考えることが
できれば,極限値を求めることができそうである。
分母に着目すると,
x-a=(x-a)(x+ax+a^)
と因数分解できる.
(3) 分子は, log(x+1), 分母は, tanx であるので,
このままでは(1),(2)のように考えることができない.
そこで、分母と分子を分けて、それぞれで考えてみる。
分子は, _log(x+1)-log ( 0+1)
lim-
110
x-0
とみることができる.log(0+1)=0)
練習
分母は,
lim-
110
tan x-tan0
x-0
とみることができる. (tan0 = 0 )
**
ここで, log(x+1) のときもtanxのときも, 分母がx-0であることに注目する.
②
f'(a)= limf(x)-
819
f'(a)=lim
fla+
X-
(2か所のは同じもので,ん
72
微分係数を利用して、次の極限値を求めよ。
(1) lim
e-1
x → 0 sin x
π

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

GDO

微分係数（考え方　①、②）を使って計算しています。
各マーカー部分は、微分して値を代入している（微分係数を求めている）だけです。
ヒントになりましたか？

微分(eˣ、sinx、logx、tanxの微分)が分からないということでしょか？

とりっぴー

回答ありがとうございます！
①②は理解できました！
でも、③のtanxのx=0における微分係数が1になるというのが分からないです。より詳しくお願いします！

GDO

tanxを微分すると、1/cos²x (公式のように)になります。
cos 0=1なので、1/cos²0=1です。

とりっぴー

ありがとうございます！！