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(i)nCr=nCn-r
まず文字の羅列だと分かりにくくてなんか嫌なので数を入れて考えてみます。
nを5、rを3だとすると、
5C3=5C5-3、すなわち、5C3=5C2
これは、5個中3個取り出す場合の数は、5個中2個取り出されない場合の数と一緒だよねってことです。
したがって、証明はこのように記述したら良いと思います。
記述) nCrはn個からr個取り出す場合の数のことで、これは、n個からn-r個取り出されない場合の数と等しい。したがって、nCr=nCn-r
(ii)nCr=n-1Cr-1+n-1Cr
nCrは、n個からr個取り出す場合の数ですよね。n個ある中で、特定のものaがあるとすると、特定のaを含む組み合わせと、特定のaを含まない組み合わせの二種類に分別できます。
特定のaを含む組み合わせでは、r個取るうちの1個はaと決まっているので、
a以外からr-1個選ぶということで、n-1Cr-1と表せます。
一方で、特定のaを含まない組み合わせは、a以外からr個選ぶということで、n-1Crと表せます。
したがって、nCr=n-1Cr-1+n-1Cr