Question

きなこ

(2)でマーカーの式がどんな考え方でできるのか分かりませんでした。教えていただきたいです。

462 第7章積分法
Think
体積(1)
例題 244
(1) 底面積 S, 高さ AH がんの正四角錐について,
AH 上に AP=x となる点Pをとり、点Pを通
り AH に垂直な平面でこの四角錐を切断する.
このとき、切り口の正方形の面積S(x)と正四
角錐の体積Vを求めよ.
(2) 放物線y=4-xとx軸とで囲まれた図形を
S
x軸のまわりに1回転してできる立体の体積V を求めよ.
考え方 (1) 底面と切り口の正方形は相似である.
Aを原点, AH をx軸の正の方向と
すれば、積分区間が求めやすくなる.
(2) 切り口は、右の図のように半径が
A
2
H
****
4x2の円になる.
-21 O
解答
(1) 切り口の正方形と底面の正方形は相似であり,
その相似比はx: ん だから,
(相似比) min
S(x)
S
(面積比):
面積比は,
S(x) : S=x: h
H
h
「より、
S(x) = S
m
n
右の図のように,Aを原点,
AH をx軸の正の方向にとる
m²
口と、求める体積V は,
Ch
V=
v=SS(x)dx=xdx={{}\x³]=sh
S1
積分区間は 0≦x≦h
h23
(2) 右の図の斜線部分をx軸のまわりに
回転するから,求める体積 V は,
CONCE
(体積)=1/2x
-x(底面積)
YA
y=4-x2
×(高さ)
xhi
となっている.
Focus
V=ny'dx=n (4-x²)dxx
2
-2
=(x-8x+16)dx
-2
=2m (x-8x2+16)dx)
5
8
2πx³-3x²+16x=
[
=2x-
x²+16x=5127360
偶関数の定積分
S
-a
x=2xdx
(p.422参照)
非回転体の体積 まずは切り口の面積を式で表せ
dsc

積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

「考え方」の図の通りです
xに対してyが決まります
このyは、座標xのところに立てた細い長方形の高さです
縦がy、横は（極めて薄いので）これをdxと書きます
これをx軸周りに1周させると円板ができます
その半径はy、厚みがdxだから、
円の面積はπy²、円板の体積はπy²dxです
その体積を-1から1まで集めて足すので、
求める立体の体積は∫ πy² dxです

きなこ

ありがとうございます！よくわかりました！