Question

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数学
△ABCにおいて, A=60゜, a=3√6 , c=8 とする。このような三角形のうち, 面積が最大のものについて, △ABCの内接円の半径rを求めよ

解き方を教えてください
bの出し方だけでもお願いします🙏

三角比 数学

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

⊿ABCについての余弦定理を考える。
a²=b²+c²-2bc(cosA)
54=b²+64-8b
b²-8b+10=0
(b-4)²=6
b=4±√6
⊿ABCの面積は
1/2×bc×sinA
で求められるので⊿ABCが最大となるのは、
bが最大となるとき。
よってb=4+√6
このとき⊿ABCの面積は
1/2×(4+√6)×8×sin60°
=8√3+2×3√2
=8√3+6√2
また⊿ABCの面積は内接円の半径rを用いて
1/2×r×(a+b+c)
=1/2×r(3√6+4+√6+8)
=(6+2√6)r
と表すこともできる。
このとき
(6+2√6)r=8√3+6√2
が成り立つ。
r={2(4√3+3√2)}/{2(3+√6)}
=(4√3+3√2)(3-√6)/(9-6)
=(1/3)×{3(4√3+3√2)-4×3√2-3×2√3)}
=4√3+3√2-4√2-2√3
=2√3-√2

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ご丁寧にありがとうございます、助かりました！🙇‍♀