Question

ゆる

命題AとBの真偽なのですが、答えはどちらも偽になります。
私は初めのaとbには3と5を、命題Bには√3と√5を入れました。
そしたらどちらも真になりました。
答えを見ると私とは全然違う数字を入れていたのですが、こういう問題の場合当てはめる数によって違うと思うのですが、どうしたら確実にわかるのですか？
どなたかすみませんがよろしくお願いします🙇‍♀️

(1) 実数a, b に対し、命題A,命題 B をそれぞれ
命題A「abがともに有理数ならば, (a + √36) は無理数である」
(3+5/3)2=6+30.3+
35
命題 B 「 a, b がともに無理数ならば, (a+√36)2 は無理数である」
とする。
√3√5
8130
3(15
(13+√15) 2
5
3+2.50 +15

(1)
(1) (i) a, b がともに有理数である」 の否定は 「 a, b の少なくとも一方は無理
数である」 であり、 「(a +√36)2は無理数である」 の否定は「(a +√36)2は
有理数である」である。
よって、 命題A の対偶は 「(a + √36)2 が有理数ならば, a, bの少なくと
も一方は無理数である」 である。
(ii) 命題Aについて, a = 0,b=0 とすると, a, b はともに有理数だが
(a+√36)2=0 (有理数)
となるから、命題Aは偽である。
③
命題 B について,a=√3.6=3-1 とすると, a, bはともに無理数だが
(a+√36)²={v√3+√3(√3-1)}2
=9 (有理数)
となるから,命題Bは偽である。
イ
C

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

①偽と疑って反例を見つけるスタンスで行く
つまり仮定を満たすが結論を満たさないものを見つけに行く
②何となく代入しても意味が乏しいので、
理屈を考えてから代入する

(1) (a+√3b)²が有理数になる有理数a,bを探しにいきます
有理数は0が例外になることも多いです
この場合もb=0とすれば、
aが何であっても(a+√3b)²は有理数です
a=0としても(a+√3b)²は有理数です

また、(a+√3b)²=a²+3b²+2√3 abと展開してみると、
2√3abが有理数になる有理数a,bを探せばよく、
こちらの方が簡単に感じるかもしれません

(2) (a+√3b)²が有理数になる無理数a,bを探しにいきます
ちょっと難しいと感じます
a²+3b²+2√3 abが有理数になる無理数a,bを探します
√3を消すために、試しにb=√3としてみます
a²+3b²+2√3 ab = a²+9+6a = (a+3)²
これが有理数になるので、
a+3が少なくとも√2とか√3とか√5のような
シンプルな無理数になればよいことがわかります
たとえばa+3=√2 ∴a=√2-3

> 初めのaとbには3と5を、命題Bには√3と√5を入れました。
そしたらどちらも真になりました。

真というのは、仮定を満たすすべての場合で、
結論も満たされるときにいえることです
a=3,b=5というたった一例で真とは判断できません
a=3,b=5は反例にならなかったというだけです
a,bに何を入れても仮定も結論も成り立つとき、真です

ゆる

教えてくださりありがとうございました🙇‍♀️あってるかの確認ではなく、反例を探すのですね！！また、和さんのアドバイス通り展開したら、見つけやすかったです！！とても納得できました✨本当にありがとうございました😊