Question

まかろん

写真の(2)の問題についてです

(2)の問題文では｢任意の実数xに対して｣とあります。
そのため、a≠0の場合、a>0の時とa<0の時で場合分けをしてa>0の時はf(x)=0の場合のみ問題文を満たすと考えました(｢任意の実数xに対して｣とあることから)。

しかし、模範解答では｢すべての実数xに対しf(x)≦0が成り立つための条件は…｣とあり、a<0の場合のみで考えています。

以上のことから、｢任意の実数｣と｢すべての実数｣の意味の違いと、a>0を含めてはいけない理由を教えてください🙇🏻‍♀️

(1) すべての実数xに対して, 2次不等式x2+(k+3)x-k>0が成り立つよう
な定数kの値の範囲を求めよ。
(2) 任意の実数x に対して,不等式 ax²-2√3x+a+2≦0 が成り立つような定
数αの値の範囲を求めよ。
p.187 基本事項

e
a≠0のとき,f(x)=ax²-2√3x+a+2 とすると,
y=f(x) のグラフは放物線である。
よって、 すべての実数xに対しf(x) ≧0が成り立つため
の条件は,y=f(x) のグラフが上に凸の放物線であり,
軸と共有点をもたない,または, x軸と接することで
い
本基
x
で
ある。
ゆえに、 2次方程式f(x)=0の判別式をDとすると, 求
める条件は
α < 0 かつ D≦0
D=(-√3) -a(a+2)=-α-2a+3
4
=-(a+3)(a-1)
であるから, D≦0より
y=f(x)
f(x)の値が常に0以下
<α > 0 とすると,
y=f(x) のグラフは下に
凸の放物線となり,
f(x) の値はいくらでも
大きくなるから,常に
0
f(x)が成り立つこと
はない。
グラ
(a+3)(a-1)≧0
よって a≦-3, 1≦a
a< 0 との共通範囲を求めて
a≤-3
+++(-x)=(x)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

｢任意の実数｣と｢すべての実数｣は同じと言ってよいです

a>0を場合分けに入れてももちろんよいですが、
そこでの結論は「a>0だと条件を満たさないから不適」です

むしろあなたのいう
「a>0の時はf(x)=0の場合のみ問題文を満たす」
がよくわかりません

a>0ということは、
y=(不等式の左辺)という放物線は下に凸です
これがxによらず0以下、つまりx軸以下になることはありません
xによらずf ≦0ということは、
放物線すべてがx軸以下ということです
x軸より上に来ることはない、ということです

まかろん

すみません、間違えました

a>0かつD=0の場合も不適でしょうか？

和

繰り返しになります
「任意の実数xについてf(x)≦0」ということは、
「『つねに』放物線y=f(x)がx軸以下」ということです
つまり放物線全体がx軸以下ということです

放物線を構成するすべての点について、
x軸と同じ高さか、x軸より下に来ていないといけないのです

a>0かつD=0ということは、
ある1点（接点）ではx軸と同じ高さでOKですが、
他の点はすべてx軸より上、になってしまうので不適です

まかろん

ありがとうございます！
任意の実数の意味の捉え方を間違えていました💦